Компози́ция (суперпози́ция) фу́нкций — это применение одной функции к результату другой.
Композиция функций и обычно обозначается , что обозначает применение функции к результату функции , то есть .
Определение
Пусть функция из в . Образ функции есть множество .
Пусть даны две функции и , где — образ множества . Тогда их композицией называется функция , определённая равенством: .
Связанные определения
Термин «сложная функция» может быть применим к композиции двух функций, каждая из каких имеет один аргумент. Также он может употребляться в ситуации, когда на вход функции нескольких переменных подаётся сразу несколько функций от одной или нескольких исходных переменных. Например, сложной функцией нескольких переменных можно назвать функцию вида ,
потому что она представляет собой функцию , на вход которой подаются результаты функций и .
Примеры композиций
Композиция функций на конечных множествах:
Пусть и
тогда композиция
Свойства композиции
Композиция ассоциативна: . Если — тождественное отображение на , то есть : , то . Если — тождественное отображение на , то есть : , то . Композиция отображений , , вообще говоря, не коммутативна, то есть . Например, даны функции , — тогда , однако .
Дополнительные свойства
Пусть функция имеет в точке предел , а функция имеет в точке предел . Тогда, если существует проколотая окрестность точки , пересечение которой с множеством отображается функцией в проколотую окрестность точки , то в точке существует предел композиции функций и выполнено равенство: . Если функция имеет в точке предел , а функция непрерывна в точке , то в точке существует предел композиции функций и выполнено равенство: . Композиция непрерывных функций непрерывна. Пусть — топологические пространства. Пусть и — две функции, , и , где — это множество всех функций, первая производная которых в заданной точке существует. Тогда .
Композиция дифференцируемых функций дифференцируема. Пусть , , и . Тогда , и .
Примечания
Литература
Категория:Общие понятия о функциях