Га́мма-распределе́ние в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если параметр принимает целое значение, то такое гамма-распределение также называется распределе́нием Эрла́нга.
Определение Пусть распределение случайной величины задаётся плотностью вероятности, имеющей вид где — гамма-функция Эйлера.
Тогда говорят, что случайная величина имеет гамма-распределение с положительными параметрами и . Пишут .
Замечание. Иногда используют другую параметризацию семейства гамма-распределений. Или вводят третий параметр — сдвиг.
Моменты Математическое ожидание и дисперсия случайной величины , имеющей гамма-распределение, имеют вид , .
Свойства гамма-распределения Если — независимые случайные величины, такие что , то . Если , и — произвольная константа, то . Гамма-распределение бесконечно делимо.
Связь с другими распределениями Гамма-распределение является распределением Пирсона типа III. Экспоненциальное распределение является частным случаем гамма-распределения: . Если — независимые экспоненциальные случайные величины, такие что , то . Распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения: . Согласно центральной предельной теореме, при больших гамма-распределение может быть приближено нормальным распределением: при . Если — независимые случайные величины, такие что , то . Естественным обобщением гамма-распределения является усеченное гамма-распределение.
Моделирование гамма-величин Учитывая свойство масштабирования по параметру θ, указанное выше, достаточно смоделировать гамма-величину для θ = 1. Переход к другим значениям параметра осуществляется простым умножением.
Используя тот факт, что распределение совпадает с экспоненциальным распределением, получаем, что если U — случайная величина, равномерно распределённая на интервале (0, 1], то .
Теперь, используя свойство k-суммирования, обобщим этот результат:
где Ui — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1].
Осталось смоделировать гамма-величину для 0 < < 1 и ещё раз применить свойство k-суммирования. Это является самой сложной частью.
Ниже приведён алгоритм без доказательства. Он является примером выборки с отклонением.
Положить m равным 1. Сгенерировать и — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале (0, 1]. Если , где , перейти к шагу 4, иначе к шагу 5. Положить . Перейти к шагу 6. Положить . Если , то увеличить m на единицу и вернуться к шагу 2. Принять за реализацию .
Подытожим:
где [k] является целой частью k, а ξ сгенерирована по алгоритму, приведённому выше при δ = {k} (дробная часть k); Ui и Vl распределены как указано выше и попарно независимы.
Примечания
Литература
Категория:Непрерывные распределения