Теорема Нагу́мо — теорема существования решения краевой задачи первого рода для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, разрешённого относительно старшей производной. Принадлежит японскому математику Митио НагумоNagumo M. Über die differenzialgleichung . — pp. 864—865.. Является одной из теорем метода дифференциальных неравенств.
Формулировка теоремы
Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение второго порядка с краевыми условиями первого рода:
Чтобы сформулировать теорему Нагумо для задачи , нам понадобится ряд определений.
Пусть функция определена при всех , где .
Определение. Будем говорить, что функция принадлежит классу функций НагумоВ работе Ф. Хартмана используется термин функция Нагумо — см. Hartman Ph. On Boundary Value Problems for Systems of Ordinary, Nonlinear, Second Order Differential Equations. — p. 494. на множестве и писать , если найдётся такая положительная непрерывная функция , что
Определение. Нижним и верхним (барьерными) решениями задачи называются соответственно функции и , принадлежащие , и такие, что
Определение. Классическим решением задачи называется функция , принадлежащая и удовлетворяющая уравнению при каждом и каждому из граничных условий .
Теорема (Нагумо). Пусть существуют такие нижнее и верхнее решения задачи , что
где . Тогда существует по крайней мере одно классическое решение задачи , принадлежащее и заключённое между барьерными решениями и :
Доказательство теоремы
Доказательство теоремы Нагумо опирается на метод стрельбы и использует следующие леммы.
Лемма 1. Пусть — замкнутая ограниченная область на плоскости и пусть . Тогда любая интегральная кривая уравнения , проходящая через внутреннюю точку области , может быть продолжена в обе стороны до границы этой области.
См. также
Метод стрельбы
Примечания
Литература
Ссылки А. Б. Васильева, Н. Н. Нефедов. Нелинейные краевые задачи. М. Нагумо. О дифференциальном уравнении (перевод с немецкого).
Категория:Дифференциальные уравнения Нагумо Нагумо