Обра́тные гиперболи́ческие фу́нкции (известные также как а̀реафу́нкции или ареа-функции) — семейство элементарных функций, определяющихся как обратные функции к гиперболическим функциям. Эти функции определяют площадь сектора единичной гиперболы аналогично тому, как обратные тригонометрические функции определяют площадь сектора единичной окружности (наряду с длиной дуги). Для этих функций часто (например, в языках систем компьютерной алгебры, скажем в Maple) используются обозначения arcsinh, arcsh, arccosh, arcch и т. д., хотя такие обозначения являются, строго говоря, ошибочными, так как префикс arc является сокращением от arcus (дуга) и потому относится только к обратным тригонометрическим функциям, тогда как ar обозначает area — площадь. Более правильными являются обозначения arsinh, arsh и т. д. и названия обратный гиперболический синус, ареасинус и т. д. Также применяют названия гиперболический ареасинус, гиперболический ареакосинус и т. д., но слово «гиперболический» здесь является лишним, поскольку на принадлежность функции семейству обратных гиперболических функций однозначно указывает префикс «ареа». В авторитетных источниках принято слитное написание: ареасинус, ареакосинус и т. д., однако иногда названия соответствующих функций записывают через дефис: ареа-синус, ареа-косинус и т. д.
В комплексной плоскости гиперболические функции являются периодическими, а обратные им функции — многозначными. Поэтому подобно обратным тригонометрическим функциям обозначения ареафункций принято записывать с большой буквы, если подразумевается множество значений функции (логарифм в соответствующем определении функции также понимается как общее значение логарифма, обозначаемое Ln). С маленькой буквы записываются главные значения соответствующих функций.
В русской литературе обозначения большинства прямых и обратных гиперболических функций (так же как и части тригонометрических) отличаются от английских обозначений.
Название функцииОбозначение в русской литературеОбозначение в английской литературе ареасинусarsharsinh, sinh−1 ареакосинусarcharcosh, cosh−1 ареатангенсarthartanh, tanh−1 ареакотангенсarctharcoth, coth−1 ареасекансarsch, arsecharsech, sech−1 ареакосекансarcscharcsch, csch−1
Определения функций
В комплексной плоскости главные значения функций можно определить формулами:
ареасинус
ареакосинус
ареатангенс
ареакотангенс
ареасеканс
ареакосеканс
Квадратными корнями в этих формулах являются главные значения квадратного корня (то есть если представить комплексное число как при ), а логарифмические функции являются функциями комплексной переменной. Для действительных аргументов можно осуществить некоторые упрощения, например которые не всегда верны для главных значений квадратных корней.
Разложение в ряд Обратные гиперболические функции можно разложить в ряды:
Асимптотическое разложение даётся формулой
Производные
Функция Производная Примечание
Для действительных :
Пример дифференцирования: если , то:
Комбинация гиперболических и обратных гиперболических функций
Дополнительные формулы
См. также Гиперболические функции Обратные тригонометрические функции Таблица интегралов обратных гиперболических функций
Источники
Herbert Busemann, Paul J. Kelly (1953) Projective Geometry and Projective Metrics, с. 207, Academic Press.
Ссылки Inverse hyperbolic functions на сайте MathWorld Inverse hyperbolic functions
Категория:Элементарные функции