В теории чисел, Лемма Золотарёва утверждает, что символ Лежандра
для целого числа a по модулю нечётного простого числа р, которое не делит a, можно вычислить как знак перестановки:
где ε обозначает знак перестановки и π является перестановкой ненулевых вычетов по модулю р , полученной умножением на a.
Доказательство из леммы Гаусса Лемма Золотарёва легко выводится из леммы Гаусса и наоборот. Например, , является символом Лежандра (a / p) при а = 3 и р = 11. Начнём с множества {1,2, …, р-1} в виде матрицы из двух строк, так, что сумма двух элементов любого столбца равна нулю по модулю р , например: 1 2 3 4 5 10 9 8 7 6 Применим перестановку (mod р): 3 6 9 1 4 8 5 2 10 7 Столбцы ещё обладают тем свойством, что сумма двух элементов в одном столбце равна нулю по модулю р. Теперь применим подстановку V , которая поменяет местами любые две пары, в которых верхний член был изначально нижним членом: 3 5 2 1 4 8 6 9 10 7 Наконец, применим перестановку W, которая вернёт обратно исходную матрицу: 1 2 3 4 5 10 9 8 7 6 Таким образом, W−1 = VU. Лемма Золотарёва утверждает, что (a / p) = 1 тогда и только тогда, когда перестановка U чётная. Лемма Гаусса утверждает, что (a / p) = 1,тогда и только тогда, когда V чётная. Но W чётная, так что обе леммы эквивалентны для данных (но произвольных) a и р.
Общий случай В общем случае, пусть — любая конечная группа чётного порядка . Пусть — элемент порядка . С одной стороны, если , то — не квадрат в тогда и только тогда, когда , то есть нечётно, а — чётно. С другой стороны, пусть — перестановка, порождённая элементом . Ясно, что может быть разложена в произведение циклов одинаковой длины . Чётность перестановки . Значит — нечётная перестановка тогда и только тогда, когда распадается в нечётное число циклов чётной длины . Таким образом, чётна тогда и только тогда, когда — квадрат.
Утверждение для символа Лежандра получается, если в качестве взять группу ненулевых вычетов по модулю . Порядок этой группы равен , а потому чётный при .
История Эта лемма использовалась Егором Ивановичем Золотарёвым в 1872 году в его новом доказательстве квадратичной взаимности.
Примечания
Ссылки Статья на ресурсе PlanetMath о лемме Золотарёва; включает его доказательство квадратичной взаимности.
Категория:Теория чисел Золотарёва Категория:Теоремы теории чисел