История арифметики охватывает период от возникновения счёта до формального определения чисел и арифметических операций над ними с помощью системы аксиом. Арифметика — наука о числах, их свойствах и отношениях — является одной из основных математических наук. Она тесно связана с алгеброй и теорией чисел.

Причиной возникновения арифметики стала практическая потребность в счёте, простейших измерениях и вычислениях. Первые достоверные сведения об арифметических знаниях обнаружены в исторических памятниках Вавилона и Древнего Египта, относящихся к III—II тысячелетиям до н. э. Большой вклад в развитие арифметики внесли греческие математики, в частности пифагорейцы, которые пытались с помощью чисел определить все закономерности мира. В Средние века основными областями применения арифметики были торговля и приближённые вычисления. Арифметика развивалась в первую очередь в Индии и странах ислама и только затем пришла в Западную Европу. В XVII веке мореходная астрономия, механика, более сложные коммерческие расчёты поставили перед арифметикой новые запросы к технике вычислений и дали толчок к дальнейшему развитию.

Теоретические обоснования представления о числе связаны в первую очередь с определением натурального числа и аксиомами Пеано, сформулированными в 1889 году. За ними последовали строгие определения рациональных, действительных, отрицательных и комплексных чисел. Дальнейшее расширение понятия числа возможно только при отказе от одного из арифметических законов.

Возникновение арифметики

Если в двух множествах (наборах предметов) каждый элемент одного набора имеет единственную пару в другом наборе, то эти множества равномощны. Такое фактическое сравнение, когда предметы раскладывались в два ряда, использовалось ещё первобытными племенами при обмене, оно даёт возможность устанавливать количественные соотношения между группами объектов и не требует понятия числа.

В дальнейшем появились естественные эталоны счёта, например, пальцы рук, а затем и множества-эталоны, такие как руки. С появлением эталонов, символизирующих конкретные числа, и связывают возникновение понятия числа. При этом число предметов сравнивали с Луной в небе, количеством глаз, количеством пальцев на руке. Позднее многочисленные эталоны заменились на один наиболее удобный, обычно им становились пальцы рук и/или ног.

Следующим шагом было появление общего понятия натурального числа, отделённого от конкретных предметов. Натуральное число возникло как идеализация конечного множества однородных, устойчивых и неделимых предметов (людей, овец, дней и т. п.): «прежде чем возникнет понятие о числе, должен существовать опыт, что в известном смысле равноценные объекты существуют множественно и неизменно».; соответственно и действия с числами первоначально отражали реальные действия с такими множествами (объединение, разделение и т. п.). Для праиндоевропейского языка, использовавшего десятеричную систему счисления, уже реконструированы названия числительных до ста включительно. Лебег по этому поводу заметил: «Возможно, что если бы люди имели одиннадцать пальцев, была бы принята одиннадцатиричная система счисления».

Для записи результатов счёта использовали зарубки на дереве или костях, узелки на верёвках — искусственные эталоны счёта. Лучевая кость молодого волка с 55 зарубками на ней была найдена в 1937 году около деревни Дольни-Вестонице (Чехия). Возраст находки составляет около 5 тысяч лет (по другим данным, около 30 тысяч лет), долгое время она была старейшей известной записью числа. Б. А. Фролов, специалист по палеолиту из Новосибирска, видит в графике орнаментов верхнего палеолита, начиная с памятников из Дольни-Вестонице, многие свидетельства о том, что люди этой эпохи чётко различали определённые количества одинаковых элементов и особенно часто подчёркивали некоторые количества: по 5 или 7 предметов, а также кратные им (особенно 10 и 14).

При наименовании чисел использовались либо неразложимые наименования (такие числа получили название узловые), либо составленные из узловых наименований — алгоритмические. При этом комбинирование алгоритмических чисел основано на арифметических операциях, осуществляемых над узловыми числами.

Нумерация, так же как и названия чисел, основана на одном из трёх принципов: аддитивном (additio — сложение) — знаки для и повторение этих знаков (); субтрактивном (subtractio — вычитание) — сочетание цифр , где , равносильно разности ; мультипликативном (multiplicatio — умножение) — сочетание цифр равносильно произведению, используется для названия десятков и сотен в индоевропейских языках, в частности в русском.

Помимо указанных выше, в ряде источников упоминается также принцип, основанный на делении.

Древние математические тексты и системы счисления

Древний Египет

Основные сведения по египетской математике базируются на папирусе Ахмеса, который является конспектом египетского писца Ахмеса (XVIII—XVII века до н. э.), а также Московском папирусе. Оба папируса относятся к эпохе Среднего царства. Информации о математических текстах Нового царства, так же как и Раннего и Древнего царств, не сохранилось. Математические папирусы Древнего Египта были составлены для учебных целей, они содержат задачи с решениями, вспомогательные таблицы и правила действий над целыми числами и дробями, встречаются арифметические и геометрические прогрессии, а также уравнения.

Египтяне пользовались десятичной системой счисления. Иероглифическая нумерация была аддитивной со специальными знаками для и так далее до десяти миллионов, в то время как в иератическом письме появились знаки для чисел от одного до девяти, для десятков, сотен и тысяч, а также специальные знаки для дробей вида , или аликвотных дробей.

Египетские математические тексты особое внимание уделяли вычислениям и возникающим при этом трудностям, от которых во многом зависят методы решения задач. Египтяне использовали такие арифметические операции, как сложение, удвоение и дополнение дроби до единицы. Любое умножение на целое число и любое деление без остатка проводились с помощью многократного повторения операции удвоения, что приводило к громоздким вычислениям, в которых участвовали определённые члены последовательности . В Египте нашли применение только аликвотные дроби, а все остальные дроби разлагались на сумму аликвотных. В папирусе Ахмеса представлены таблицы таких разложений для дробей вида , остальные вычисления с дробями делались при помощи операции удвоения. При определении площади квадрата, объёма куба или нахождении стороны квадрата по его площади египтяне сталкивались с возведением в степень и извлечением корня, хотя названия этих операций ещё не было.

Вавилон

Вавилонские клинописные математические тексты использовали шестидесятеричную систему счисления, характерную ещё для шумер, и представляли собой учебные пособия, которые включали таблицы умножения для чисел от до , а также таблицы обратных чисел, таблицы квадратов и кубов чисел натурального ряда, таблицы вычисления процентов, дроби с основанием . Известно более трёхсот табличек с текстами математических задач и числовыми таблицами. Для Вавилона характерно широкое применение таблиц.

В Вавилоне впервые появляется последовательная позиционная нумерация. Первые пятьдесят девять чисел записывались с повторением знаков единиц и десятков нужное число раз. Аналогичным образом записывались числа, кратные шестидесяти, слева от первого набора. Позднее такое расположение распространилось на любые числа вида и . Кроме того, вавилоняне ввели знак, обозначающий ноль при записи числа.

Сложение и вычитание в Вавилоне были аналогичны данным действиям в десятичной позиционной системе с тем отличием, что переход в следующий разряд был необходим как для основания системы, так и для единиц и десятков. Из-за большого основания вавилоняне пользовались не единой таблицей умножения до , которая бы содержала большое число элементов, а множеством таблиц произведений чисел от до на числа , называемые также «заглавными». Операции деления у вавилонян не было, поэтому большое внимание было уделено составлению таблицы обратных величин, то есть чисел, образующихся при делении на . В случае деления, дающего бесконечную дробь, сначала писалось, что обратного числа нет, а позднее стало даваться приближённое значение.

При решении арифметических задач вавилоняне опирались на пропорции и прогрессии. Они знали формулу суммы членов арифметической прогрессии, правила для суммирования геометрической прогрессии, решали задачи на проценты. В Вавилоне знали множество пифагоровых троек, для поиска которых, вероятно, пользовались неизвестным общим приёмом. В целом задача нахождения целых и рациональных решений уравнения относится к теории чисел. Геометрические задачи привели к необходимости приближённого извлечения квадратных корней, которое они выполняли, используя правило и итерационные методы для дальнейшего приближения результата.

Древняя Греция

Первоначально греки пользовались аттической нумерацией, которая использовала знаки для чисел . Эту систему описал грамматик и историк Геродиан во II веке н. э. С помощью аттической нумерации записывались результаты вычислений на счётной доске абаке. Со временем аттическую нумерацию заменила компактная буквенная, или ионическая. Ионическая нумерация использовала 24 буквы греческого алфавита и три вышедшие из обращения буквы для обозначения единиц от до , десятков от до и сотен от до (вышедшие из обращения буквы использовались для обозначения чисел ). Чтобы отличать числа от букв над ними ставили черту. Для записи числа использовали тот же символ, что и для единицы, но со штрихом слева снизу. Это напоминает позиционную систему, но окончательного перехода не произошло. Считается, что такая система затрудняла сложные вычисления, однако в 1882 году французский историк математики Поль Таннери пришёл к выводу, что при правильном подходе греческая система нумерации не сильно отличается от десятичной по скорости вычислений.

Развитие древнегреческой арифметики связано с пифагорейской школой. Пифагорейцы полагали поначалу, что отношение любых двух отрезков можно выразить через отношение целых чисел, то есть геометрия представляла собой арифметику рациональных чисел. Использование аналогичных отношений в гармонии и музыке привело пифагорейцев к выводу, что все закономерности мира можно выразить с помощью чисел, а арифметика нужна для того, чтобы сформулировать отношения и построить модель мира. В частности, пифагореец Архит писал: «Арифметика, по [моему] мнению, среди прочих наук весьма выделяется совершенством знания; да и геометрии [она совершеннее, так как] она яснее, чем геометрия, рассматривает любой [предмет]».

Пифагорейцы рассматривали только целые положительные числа и полагали число собранием единиц. Единицы были неделимы и располагались в виде правильных геометрических тел. Пифагорейцам характерно определение «фигурных чисел» («треугольных», «квадратных» и других). Изучая свойства чисел, они разбили их на чётные и нечётные (как признак делимости на два), простые и составные. Вероятно, именно пифагорейцы с помощью только признака делимости на два смогли доказать, что если  — простое число, то  — совершенное число. Доказательство изложено в «Началах» Евклида (IX, 36), только в XVIII веке Эйлер доказал, что других чётных совершенных чисел не существует, а вопрос о бесконечности числа совершенных чисел до сих пор не решён. Также пифагорейцы вывели формулу и нашли бесконечное множество целых решений уравнения , так называемых пифагоровых троек (вывод первой формулы определения пифагоровых троек приписывают Платону, который уделял большое внимание арифметике, или науке о числах).