Правильный пятиугольник (или пентагон от ) — геометрическая фигура, правильный многоугольник с пятью сторонами.
Свойства Угол у правильного пятиугольника (из формулы для всех правильных многоугольников , где n — количество сторон мноугольника):
Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по любой из формул: , где — радиус описанной окружности, — радиус вписанной окружности, — диагональ, — сторона. Высота правильного пятиугольника:
Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов. Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно «золотому сечению», то есть числу . Поэтому радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности, высоту и площадь правильного пятиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций: Сторона:
Радиус вписанной окружности:
Радиус описанной окружности:
Диагональ:
Площадь:
Правильным пятиугольником невозможно заполнить плоскость без промежутков (см. также Паркет) Отношение площадей правильного пятиугольника и другого правильного пятиугольника, образованного пересечением диагоналей исходного (середина пятиугольной звезды)
где — отношение золотого сечения.
Построение Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э.
Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:
Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник, и обозначьте её центр как O. (Это зелёная окружность на схеме справа). Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A. Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью как точку B. Постройте точку C посередине между O и B. Проведите окружность с центром в точке C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D. Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F. Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G. Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H. Постройте правильный пятиугольник AEGHF.
Получение с помощью полоски бумаги Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги.
В природе В природе не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника, но исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100—140 K показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры.A one-dimensional ice structure built from pentagons. Nature Materials. 8 March 2009 Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как эта мушмула германская. Пентасимметрией обладают иглокожие (например морские звёзды) и некоторые растения. См. также Закономерности в природе.
Интересные факты
Додекаэдр — единственный из правильных многогранников, грани которого представляют собой правильные пятиугольники. Правильный пятиугольник — правильный многоугольник с наименьшим количеством углов из тех, которыми нельзя замостить плоскость. Правильный пятиугольник со всеми его диагоналями является проекцией правильного пятиячейника (4-симплекса). Пентагон — здание министерства обороны США — имеет форму правильного пятиугольника.
См. также Золотое сечение Пятиугольник Пентаэдр Пентаграмма Государственный знак качества СССР
Примечания
5