Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова — один из способов судить об устойчивости замкнутой системы управления по амплитудно-фазовой частотной характеристике её разомкнутого состояния. Является одним из частотных критериев устойчивости. С помощью этого критерия оценить устойчивость весьма просто, без необходимости вычисления полюсов передаточной функции замкнутой системы.
Условие устойчивости Передаточная функция динамической системы может быть представлена в виде дроби
.
Устойчивость достигается тогда, когда все её полюсы находятся в левой полуплоскости . В правой полуплоскости их быть не должно. Если получена замыканием отрицательной обратной связью разомкнутой системы с передаточной функцией , тогда полюсы передаточной функции замкнутой системы являются нулями функции . Выражение называется характеристическим уравнением системы.
Принцип аргумента Коши Из теории функций комплексного переменного известно, что контур , охватывающий на -плоскости некоторое число неаналитических точек, может быть отображён на другую комплексную плоскость (плоскость ) при помощи функции таким образом, что получившийся контур будет охватывать центр -плоскости раз, причём , где — число нулей, а — число полюсов функции . Положительным считается направление, совпадающее с направлением контура , а отрицательным — противоположное ему.
Формулировка критерия Сначала построим контур, охватывающий правую полуплоскость комплексной плоскости. Контур состоит из следующих участков:
участок, идущий вверх по оси , от до . полуокружность радиусом , начинающаяся в точке и достигающая конца в точке по часовой стрелке.
Далее отображаем этот контур посредством передаточной функции разомкнутой системы , в результате чего получаем плоскость АФЧХ системы. Согласно принципу аргумента число оборотов по часовой стрелке вокруг начала координат должно быть равно количеству нулей функции минус количество полюсов в правой полуплоскости. Если рассматривать вместо начала координат точку , получим разницу между числом нулей и полюсов в правой полуплоскости для функции . Заметив, что функция имеет такие же полюса, что и функция , а полюса разомкнутой системы являются нулями замкнутой системы, сформулируем критерий Найквиста — Михайлова:
Пусть — замкнутый контур в комплексной плоскости, — число полюсов , охваченных контуром , а — число нулей , охваченных — то есть число полюсов , охваченных . Получившийся контур в -плоскости, должен для обеспечения устойчивости замкнутой системы охватывать (по часовой стрелке) точку раз, где .
В русскоязычной литературе, в основном, изданной в СССР, встречается иная формулировка критерия, называемого в этом случае критерием Михайлова (критерий устойчивости был предложен советским ученым А. В. Михайловым в 1936 году):
Система порядка устойчива, если ее частотный годограф, начинаясь на положительной вещественной полуоси комплексной плоскости и вращаясь против часовой стрелки, последовательно проходит координатных квадрантов, нигде не обращаясь в 0.
Однако в приведенной выше формулировке критерия Михайлова под частотным годографом понимается знаменатель частотной характеристики замкнутой системы, представленной в виде отношения двух полиномов. При этом в знаменатель вместо s подставлено выражение jω, а в критерии Найквиста используется понятие о частотной характеристике разомкнутой системы с единичной отрицательной обратной связью.
Следствия критерия Найквиста — Михайлова: Если разомкнутая система с передаточной функцией устойчива, замкнутая система является устойчивой, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку (−1; j0). Если разомкнутая система неустойчива, то количество оборотов вокруг точки −1 должно быть равно числу полюсов в правой полуплоскости. Количество дополнительных охватов (больше, чем ) вокруг точки −1 в точности равно количеству неустойчивых полюсов замкнутой системы.
См. также Критерий устойчивости Рауса Критерий устойчивости Гурвица Критерий устойчивости в пространстве состояний ЛАФЧХ
Примечания
Литература
Nyquist, H. 1932. Regeneration theory. Bell System Technical Journal, 11, pp. 126—147.
Категория:Теория устойчивости