Линейный функционал называется банаховым пределом если выполняются следующие 3 условия: 1) Здесь и далее под понимается последовательность
2) для любых
3) для любого , где — оператор сдвига, действующий следующим образом:
Существование таких пределов было доказано Стефаном Банахом. Из определения следует, что и , если последовательность сходится. Множество банаховых пределов обозначается как . — выпуклое замкнутое множество на единичной сфере пространства . Из неравенства треугольника следует, что для любых справедливо неравенство . Если и являются крайними точками множества , то .
Лемма 1 Различные банаховы пределы несравнимы, то есть если , то .
Если для какого-то . Возьмём ,
Получаем противоречие, которое доказывает лемму.
Теорема 1 Функционал можно представить в виде () тогда и только тогда, когда для всех
Для того, чтобы при указанных условиях данное представление было единственным, необходимо и достаточно, чтобы .
Необходимость условий 1.—3. вытекает из определения банаховых пределов. Для доказательства достаточности определим функционал
Используя свойства 1.—3. получаем:
Для справедливо, что , значит — банахов предел. То же самое верно для функционала . По построению . Докажем единственность такого представления при . Пусть при .
Выше доказано, что , аналогичные рассуждения показывают, что . По лемме 1 получаем
Теорема доказана.
Понятие почти сходимости Для заданных , , для любых
равномерно по . Последнее равенство называется критерием Лоренца. Его можно уточнить следующим образом:
Последовательность называется почти сходящейся к числу , если значения всех банаховых пределов на этой последовательности равны . Используется следующее обозначение: . Множество почти сходящихся последовательностей имеет обозначение . — линейное не сепарабельное пространство, замкнутое и нигде не плотное в . Множество почти сходящихся к числу последовательностей обозначается как . Ясно, что для любого .
Пример Последовательность не имеет обычного предела, но . Для проверки равенства можно использовать критерий Лоренца или свойство данной последовательности: .
Также можно будет использовать следующую лемму:
Лемма 2 Любая периодическая последовательность почти сходится к числу, равному среднему арифметическому значений по периоду .
Характеристические функции Системой Радемахера называется последовательность функций
Каждому можно поставить в соответствие функцию
которая называется характеристической функцией банахова предела . — комплекснозначная функция.
Теорема 2 Если и для всех , то для всех .
Свойства характеристических функций Пусть , тогда периодична, причём периодом является любое двоично-рациональное число из для любых , что для любого и график плотен в прямоугольнике
для всех
Источники
Примечания
Литература
Категория:Функциональный анализ Категория:Функционалы