Осо́бое реше́ние обыкновенного дифференциального уравнения — понятие теории обыкновенных дифференциальных уравнений, чаще всего связанное с уравнениями, не разрешенными относительно производной. Существует несколько определений особых решений, не всегда эквивалентных друг другу. Одно из наиболее распространенных в настоящее время определений следующее.
Определение Рассмотрим уравнение
где — -гладкая функция в некоторой области . Решение называется особым решением уравнения (1), если каждая точка соответствующем ему интегральной кривой является точкой локальной неединственности решения задачи Коши с начальным условием . Другими словами, в каждой точке особое решение касается другого решения, которое не совпадает с ним тождественно ни в какой сколь угодно малой окрестности этой точкиФилиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — М.: УРСС, 2007, гл. 2, параграф 8, стр. 62..
Свойства Особое решение (точнее, его график) является огибающей семейства интегральных кривых уравнения (1).
Дискриминантная кривая уравнения (1) — это множество (например, кривая или совокупность кривых, но также бывает и точкой или пустым множеством) на плоскости переменных , задаваемое уравнениями . Особое решение уравнения (1), если оно существует, всегда содержится в дискриминантной кривой этого уравнения. Дискриминантная кривая может состоять из нескольких кривых, обладающих разными свойствами, некоторые из них могут быть графиками особых решений, а некоторые могут и не быть. Обратное не верно: дискриминантная кривая не обязательно является решением уравнения (а если является, то не обязательно особым)Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — М.: УРСС, 2007, гл. 2, параграф 8..
Из сказанного выше следует, что для практического отыскания особых решений уравнения конкретного уравнения нужно сначала найти его дискриминантную кривую, а затем проверить, является ли она (каждая её ветвь, если их несколько) особым решением уравнения (1), или нет.
Примеры 1. Дискриминантная кривая уравнения Чибрарио — координатная ось — является не решением, а геометрическим местом точек возврата его интегральных кривых.
2. Дискриминантная кривая уравнения — координатная ось — является решением этого уравнения, но его график не пересекается ни с какими другими интегральными кривыми этого уравнения, поэтому это решение не является особым.
3. Простыми примерами дифференциальных уравнений, имеющих особые решения, являются уравнение Клеро и уравнение , неособые решения которого задаются формулой с постоянной интегрирования , а особое решение имеет вид .
4. Дискриминантная кривая уравнения состоит из двух непересекающихся ветвей: и . Обе они являются решениями этого уравнения. Однако первая из них является особым решением, а вторая — нет: в каждой точке линии она касается какой-либо другой интегральной кривой этого уравнения, а к линии интегральные кривые лишь приближаются асимптотически при Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — М.: УРСС, 2007, гл. 2, параграф 8, пример 5..
Примечания
Литература Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978. Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. ун-та, 2000. Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — М.: Физматлит, 2001. Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — М.: УРСС, 2004, 2007.
Категория:дифференциальные уравнения