Ортогона́льный ба́зис — базис, состоящий из попарно ортогональных ненулевых векторов.
Ортонорми́рованный базис — ортогональный базис, в котором каждый вектор имеет длину 1.
Конечномерный случай
Для ортонормированного базиса скалярные произведения базисных векторов удобно записывать с помощью символа Кронекера:
то есть скалярное произведение каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают (), и равно единице при совпадающем индексе, то есть когда берётся скалярное произведение любого базисного вектора с самим собой.
Ортонормированный базис является самодуальным (дуальный ему базис совпадает с ним самим). Поэтому в нём можно не делать различия между верхними и нижними индексами, и пользоваться, скажем, только нижними (как обычно и принято, если конечно при этом используются только ортонормированные базисы).
Линейная независимость следует из ортогональности, то есть достигается для ортогональной системы векторов автоматически.
Коэффициенты в разложении вектора по ортогональному базису:
можно найти так:
Полнота ортонормированной системы векторов эквивалентна равенству Парсеваля: для любого вектора квадрат нормы вектора равен сумме квадратов коэффициентов его разложения по базису:
Аналогичные соотношения имеют место и для бесконечномерного случая (см. ниже).
Бесконечномерный случай Ортогональный базис — система попарно ортогональных элементов гильбертова пространства такая, что любой элемент однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда
называемого рядом Фурье элемента по системе .
Часто базис выбирается так, что , и тогда он называется ортонормированным базисом. В этом случае числа называются коэффициентами Фурье элемента по ортонормированному базису , имеют вид . Необходимым и достаточным условием того, чтобы ортонормированная система была базисом, является равенство Парсеваля.
Гильбертово пространство, имеющее ортонормированный базис, является сепарабельным, и обратно, во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис.
Если задана произвольная система чисел такая, что , то в случае гильбертова пространства с ортонормированным базисом ряд — сходится по норме к некоторому элементу . Этим устанавливается изоморфизм любого сепарабельного гильбертова пространства пространству (теорема Рисса — Фишера).
Примеры Стандартный базис в n-мерном евклидовом пространстве Rn является ортонормированным.
Множество образует ортонормированный базис в .
Литература
Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965.
См. также Ортонормированная система Ортогонализация Процесс Грама ― Шмидта Флаг (математика)
Категория:Линейная алгебра Категория:Евклидова геометрия Категория:Функциональный анализ