Частичный предел некоторой последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей, если только он существует. Для сходящихся числовых последовательностей частичный предел совпадает с обычным пределом в силу единственности последнего, однако в самом общем случае у произвольной последовательности может быть от нуля до бесконечного числа различных частичных пределов. При этом, если обычный предел характеризует точку, к которой элементы последовательности приближаются с ростом номера, то частичные пределы характеризуют точки, вблизи которых лежит бесконечно много элементов последовательности.
Два важных частных случая частичного предела — верхний и нижний пределы.
Определения Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. В противном случае, говорят, что у последовательности нет частичных пределов. В некоторой литературе в случаях, если из последовательности удаётся выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой одновременно положительны или отрицательны, её частичным пределом называют соответственно или .
Нижний предел последовательности — это точная нижняя грань множества частичных пределов последовательности.
Верхний предел последовательности — это точная верхняя грань множества частичных пределов последовательности.
Иногда нижним пределом последовательности называют наименьшую из её предельных точек, а верхним — наибольшую. Эти определения эквивалентны, так как точная грань множества предельных точек обязательно принадлежит этому множеству.
Обозначения Нижний предел последовательности : (в отечественной литературе);
(в иностранной литературе).
Верхний предел последовательности : (в отечественной литературе);
(в иностранной литературе).
Примеры
(в другой терминологии оба предела равны )
Свойства Частичным пределом последовательности может быть только её предельная точка, и, наоборот, любая предельная точка последовательности представляет собой некоторый её частичный предел. Иными словами, понятия «частичный предел последовательности» и «предельная точка последовательности» эквивалентны. У любой ограниченной последовательности существуют и верхний, и нижний пределы (в множестве вещественных чисел). Если же считать и допустимыми значениями частичного предела, то верхний и нижний пределы существуют вообще у любой числовой последовательности. Числовая последовательность сходится к тогда и только тогда, когда . Для любого наперёд взятого положительного числа все элементы ограниченной числовой последовательности , начиная с некоторого номера, зависящего от , лежат внутри интервала . Если за пределами интервала лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности , то интервал содержится в интервале . Множество частичных пределов замкнуто.
Примечания
Комментарии
Источники
Категория:Ряды и последовательности Категория:Пределы