Нера́венство Гёльдера в функциональном анализе и смежных дисциплинах — это фундаментальное свойство пространств .
Формулировка Пусть — пространство с мерой, а — пространство функций вида с конечной интегрируемой степенью. Тогда в последнем определена полунорма: ,
где , обычно подразумевается, что это натуральное число.
Пусть , а , где . Тогда , и .
Доказательство Переформулируем неравенство Гёльдера, выразив нормы через соответствующие интегралы. Пусть — пространство с мерой , , измеримо. Тогда:
Для доказательства воспользуемся следующим утверждением (неравенство Юнга):
Положим
Применяя неравенство, получаем:
Заметим, что правая часть неравенства суммируема по множеству (отсюда вытекает и суммируемость левой части). Интегрируя неравенство по , получаем:
Неравенство Гельдера доказано. Примечание: Если или равен 0, то это значит, что или эквивалентны нулю на , и неравенство Гёльдера очевидно выполняется.
Частные случаи
Неравенство Коши — Буняковского Положив , получаем неравенство Коши — Буняковского для пространства .
Евклидово пространство Рассмотрим Евклидово пространство или . -норма в этом пространстве имеет вид: , и тогда .
Пространство lp Пусть — счётная мера на . Тогда множество всех последовательностей , таких что: , называется . Неравенство Гёльдера для этого пространства имеет вид: .
Вероятностное пространство Пусть — вероятностное пространство. Тогда состоит из случайных величин с конечным -м моментом: , где символ обозначает математическое ожидание. Неравенство Гёльдера в этом случае имеет вид: .
См. также Пространство Lp Неравенство Йенсена Гёльдер, Отто Неравенство Юнга Неравенство Минковского
Литература
Категория:Функциональный анализ Гёльдера Категория:Теория вероятностей Гёльдера Гёльдера Гёльдера