Симметри́ческая ра́зность двух множеств — теоретико-множественная операция, результатом которой является новое множество, включающее все элементы исходных множеств, не принадлежащие одновременно обоим исходным множествам. Другими словами, если есть два множества и , их симметрическая разность есть объединение элементов , не входящих в , с элементами , не входящими в . На письме для обозначения симметрической разности множеств и используется обозначение , реже используется обозначение или Мельников О. В., Ремеслеников В. Н., Романьков В. А. Общая алгебра. Том 1. — М., Наука, 1990. — с. 13.

Определение Симметрическую разность можно ввести двумя способами:

симметрическая разность двух заданных множеств и — это такое множество , куда входят все те элементы первого множества, которые не входят во второе множество, а, также те элементы второго множества, которые не входят в первое множество:

симметрическая разность двух заданных множеств и — это такое множество , куда входят все те элементы обоих множеств, которые не являются общими для двух заданных множеств.

Понятие симметрической разности можно обобщить на число множеств, большее двух.

Свойства

Симметрическая разница является бинарной операцией на любом булеане; Симметрическая разность коммутативна:

Симметрическая разность ассоциативна:

Пересечение множеств дистрибутивно относительно симметрической разности:

Пустое множество является нейтральным элементом симметрической разности:

Любое множество обратно само себе относительно операции симметрической разности:

В частности, булеан с операцией симметрической разности является абелевой группой; Булеан с операцией симметрической разности также является векторным пространством над полем В частности, булеан с операциями пересечения множеств и симметрической разности является алгеброй с единицей.

Если роль «суммы» играет операция симметрической разности, а роль «произведения» — пересечение множеств, то множества образуют кольцо с единицей. Причём другие основные операции теории множеств, разность и объединение, можно выразить через них:

Объединение симметрической разности с пересечением двух множеств равно объединению исходных множеств

Пример Пусть

Тогда

См. также Операции над множествами

Примечания

Литература

Категория:Теория множеств Категория:Операции над множествами Категория:Алгебраические операции (теория множеств)