Нормальная матрица — комплексная квадратная матрица , коммутирующая со своей эрмитово-сопряжённой матрицей:
.
Для вещественной матрицы имеет место , и поэтому она нормальна, если .
Нормальность является удобным тестом приводимости к диагональной форме — матрица нормальна тогда и только тогда, когда она унитарно подобна диагональной матрице, а потому любая матрица , удовлетворяющая уравнению , допускает приведение к диагональной форме. (Две матрицы и называются унитарно подобными, если существует унитарная матрица , для которой .)
Понятие нормальной матрицы можно распространить на нормальные операторы в бесконечномерных гильбертовых пространствах и нормальные элементы в C*-алгебрах.
Среди комплексных матриц все унитарные, эрмитовы и косоэрмитовы матрицы нормальны. Среди вещественных матриц все ортогональные, симметричные и кососимметричные матрицы нормальны. Однако неверно, что все нормальные матрицы либо унитарны, либо эрмитовы, либо косоэрмитовы. Например:
не является ни унитарной, ни эрмитовой, ни косоэрмитовой, хотя и нормальна, поскольку: .
Эквивалентные определения Существует большой набор эквивалентных определений нормальной матрицы, в частности, следующие высказывания эквивалентны: нормальна; является с помощью унитарной матрицы; все точки пространства можно получить как линейные комбинации некоторого набора ортонормальных собственных векторов матрицы ; для любого . норму Фробениуса матрицы можно вычислить по собственным значениям матрицы : ; эрмитова часть и косоэрмитова часть матрицы коммутируют; является многочленом (степени менее — размера матрицы) от Если нормальна, то можно использовать формулу интерполяции Лагранжа для построения многочлена , такого, что , где — собственные значения матрицы .; для некоторой унитарной матрицы Horn, pp. 109. и коммутируют, где и представляют полярное разложение на унитарную матрицу и некую положительно определённую матрицу ; коммутирует с некоторой нормальной матрицей , имеющей различные собственные значения; для всех , где имеет сингулярные числа и собственные значения операторная норма нормальной матрицы равна и спектральному радиусу матрицы ; это означает: .
Многие из этих определений можно обобщить до нормальных операторов в бесконечномерных гильбертовых пространствах, но не все, например, ограниченный оператор, удовлетворяющий условию коммутируемости компонент полярного разложения, является в общем случае лишь .
Свойства Нормальная треугольная матрица диагональна.
В общем случае сумма или произведение двух нормальных матриц не обязательно будет нормальной матрицей; однако если и нормальны и выполнено , то и , и также нормальны. Более того, существует унитарная матрица , такая, что и диагональны. Другими словами, и .
В этом частном случае столбцы матрицы являются собственными векторами, как , так и , и образуют ортонормальный базис в . Утверждение следует из теорем, что над алгебраически замкнутым полем коммутирующие матрицы и что нормальная матрица приводима к диагональной, в последнем случае с дополнением, что это можно сделать одновременно.
Связь со спектральной теоремой Понятие нормальности важно, поскольку нормальные матрицы — это в точности те, которых касается спектральная теорема: матрица нормальна тогда и только тогда, когда существует диагональная матрица и унитарная матрица , такие что . Диагональные элементы матрицы являются собственными числами, а столбцы — собственными векторами матрицы . (Собственные значения в идут в том же порядке, что и соответствующие им собственные вектора в ).
Другим способом высказать утверждение спектральной теоремы является утверждение, что нормальные матрицы — это в точности те матрицы, которые можно представить в виде диагональной матрицы путём выбора подходящего ортонормального базиса пространства . Также можно утверждать, что матрица нормальна тогда и только тогда, когда её собственное пространство совпадает с и собственные вектора ортогональны по стандартному скалярному произведению в .
Спектральная теорема для нормальных матриц является специальным случаем более общего разложения Шура, которое выполняется для всех квадратных матриц. Пусть — квадратная матрица. Тогда, согласно разложению Шура, она унитарно подобна верхней треугольной матрице, скажем, . Если нормальна, то и нормальна тоже. Но тогда должна быть диагональной по изложенной выше причине.
Спектральная теорема позволяет классифицировать нормальные матрицы в терминах спектра, например: нормальная матрица унитарна тогда и только тогда, когда её спектр лежит на единичном круге комплексной плоскости; нормальная матрица является самосопряжённой тогда и только тогда, когда её спектр содержится в .
Аналогии Можно рассматривать связи различных видов нормальных матриц как аналоги различных видов комплексных чисел: обратимые матрицы являются аналогом ненулевых комплексных чисел; эрмитово-сопряжённая матрица является аналогом сопряжённого числа; унитарные матрицы являются аналогом комплексных чисел с абсолютной величиной ; эрмитовы матрицы являются аналогами вещественных чисел; эрмитовы положительно определённые матрицы являются аналогами положительных вещественных чисел; антиэрмитовы матрицы являются аналогами чисто мнимых чисел.
Комплексные числа можно вложить в нормальные вещественные матрицы размера путём отображения ,
и при этом вложении сохраняются сложение все соответствующие аналогии ( например сложение и умножение )между видами нормальных матриц и видами комплексных чисел.
Примечания
Ссылки .
Категория:Типы матриц