Контрпример — пример, опровергающий верность некоторого утверждения.
Построение контрпримера — обычный способ опровержения гипотез. Если имеется утверждение типа «Для любого X из множества M выполняется свойство A», то контрпримером для этого утверждения будет: «Существует объект X0 из множества M, для которого свойство A не выполняется».
Часто найти контрпример вручную очень сложно. В таких случаях можно воспользоваться компьютером. Программа для нахождения контрпримера может просто перебирать элементы множества M и проверять выполнения свойства A. Более сложный, но и более эффективный, подход заключается в построении контрпримера «по частям». При этом при выборе очередной «части» сразу отбрасываются варианты, которые заведомо не ведут к опровержению рассматриваемого утверждения. Это позволяет значительно ускорить работу, зачастую на порядки.
Необходимо помнить, что отсутствие контрпримера не служит доказательством гипотезы. Доказательство такого рода можно строить, только если рассматриваемое множество конечно. В этом случае, достаточно перебрать все его элементы, и, если контрпримера среди них нет, то утверждение будет доказано.
Классические контрпримеры в математике Функция Дирихле — пример функции, разрывной в каждой точке. Функция Вейерштрасса — пример всюду непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции. Функция Кантора — пример непрерывной монотонной функции, которая не является константой, но при этом имеет производную равную нулю в почти всех точках.
Контрпримеры в других отраслях знания В книге Й. Стоянова «Контрпримеры в теории вероятностей» высказано утверждение: «В русском языке нет слова, содержащего подряд пять согласных букв». Контрпримером к нему служит слово «контрпример».
Литература
Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. М.: Мир, 1967. Лакатос И. Доказательства и опровержения: как доказываются теоремы. М.: Наука, 1967. Медведев Ф. А. Очерки истории теории функций действительного переменного. М.: Наука, 1975. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. М.: Мир, 1980. Стоянов Й. Контрпримеры в теории вероятностей. М.: Факториал, 1999.
Romano J. P., Siegel A. F. Counterexamples in probability and statistics. Chapman & Hall, NY, 1986. Steen L. A., Seebach J. A. (Jr.). Counterexamples in topology. Springer, NY, 1978. Wise G. L., Hall E. B. Counterexamples in probability and real analysis. Oxford UP, 1993.
Категория:Гипотезы