Уравнение движения сплошной среды — векторное уравнение, выражающее баланс импульса для сплошной среды: , где — плотность в точке, — скорость в точке, — материальная (субстанциональная, полная) производная, — тензор напряжений Коши, — вектор внешних массовых сил.
Историческая справка Уравнение движения в общем виде было получено Коши в начале 1820-х гг. (анонс относится к 30 сентября 1822 г., краткая публикация в 1823 г., полная публикация — в 1828 г.).
Вид уравнения в декартовой системе координат В прямоугольной декартовой системе координат три проекции уравнения движения сплошной среды имеют вид
где — плотность сплошной среды, , , — проекции скорости среды, — компоненты тензора напряжений, , , — компоненты вектора массовой плотности объёмных сил, действующих на сплошную среду (сила в расчёте на единицу массы). Если используемая система отсчёта не является инерциальной, то в число массовых сил нужно включать силы инерции.
Выражения, стоящие в скобках в левых частях, являются проекциями ускорения, поэтому в некотором смысле уравнение движения можно рассматривать как обобщение второго закона Ньютона для материальной точки постоянной массы.
В произвольной криволинейной системе координат уравнение движения имеет вид
где символ обозначает ковариантную производную по -ой координате, а по повторяющемуся индексу производится суммирование от одного до трёх.
Специальные формы уравнения Если сплошная среда покоится (относительно используемой системы координат), , то уравнения движения превращаются в уравнения равновесия
Частными случаями уравнения движения являются уравнение Эйлера (уравнение движения для идеальной жидкости); уравнение Навье — Стокса (уравнение движения для линейно-вязкой жидкости); уравнение Навье — Ламе (уравнение движения для малых деформаций линейно-упругой среды).
Примечания
Категория:Механика сплошных сред