Теоре́ма Радо́на — Нико́дима в функциональном анализе и смежных дисциплинах описывает общий вид меры, абсолютно непрерывной относительно другой меры.
Названа в честь Отто Никодима и Иоганна Радона.
Формулировка Пусть — пространство с мерой. Предположим, что — -конечна. Если мера абсолютно непрерывна относительно , то существует измеримая функция , такая что
где интеграл понимается в смысле Лебега.
Другими словами, если вещественнозначная функция обладает свойствами:Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. Выпуск II. Мера, интеграл Лебега, гильбертово пространство. - М., МГУ, 1960. - c. 74-75 определена на борелевской алгебре . аддитивна; то есть, для любого разложения множества на попарно непересекающиеся множества выполняется равенство
абсолютно непрерывна; то есть, из вытекает . то она представима в виде
где интеграл понимается в смысле Лебега.
Связанные понятия Функция , существование которой гарантируется теоремой Радона — Никодима, называется производной Радона — Никодима меры относительно меры . Пишут:
Если — -мерное векторное пространство с борелевской σ-алгеброй, — распределение некоторой случайной величины , а — мера Лебега на , то производная Радона — Никодима меры относительно меры называется плотностью распределения случайной величины .
Свойства Пусть — -конечные меры, определённые на одном и том же измеримом пространстве . Тогда если и , то
Пусть . Тогда выполнено -почти всюду. Пусть и — измеримая функция, интегрируемая относительно меры , то
Пусть и . Тогда
Пусть — заряд. Тогда
Применение
Теорема и соответствующая производная Радона — Никодима широко используется в стохастической финансовой математике в процедурах замены вероятностной меры для стохастических процессов динамики цен финансовых и других активов и процентных ставок. В частности, стандартным является переход от риск-нейтральной меры к физической (натуральной) вероятностной мере.
Вариации и обобщения
Аналогичная теорема справедлива для зарядов, то есть знакопеременных мер.
Примечания
Категория:Функциональный анализ Радо́на — Нико́дима Категория:Теория вероятностей Категория:Теория меры