Теоре́ма Тоне́лли — Фуби́ни в математическом анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах сводит вычисление двойного интеграла к повторным.
Формулировка Пусть даны два пространства с -конечными мерами . Обозначим через их произведение. Пусть функция интегрируема относительно меры . Тогда функция определена -почти всюду и интегрируема относительно ; функция определена -почти всюду и интегрируема относительно ; имеют место равенства
и
Частные случаи
Теория вероятностей Пусть — вероятностные пространства, и — случайная величина на . Тогда
где индекс обозначает вероятностную меру, относительно которой берётся математическое ожидание.
Математический анализ Пусть функция двух переменных, интегрируемая по Риману на прямоугольнике , то есть . Тогда
где интеграл в левой части двумерный, а остальные повторные одномерные. Предполагается, что повторные интегралы существуют.
Доказательство Любое разбиение множества получено некоторыми разбиениями отрезка и отрезка , при этом объём любого прямоугольника определяется , где ― некоторые частичные отрезки разбиений. Тогда рассмотрим следующие оценки интеграла
и нижних и верхних интегральных сумм функции и :
Тогда при интегрируемости по , то есть равенстве из вышеуказанных оценок интеграл также существует и имеет такое же значение, как и
См. также Произведение мер Малая теорема Фубини Кошмар Фубини Формула коплощади
Литература
Категория:Функциональный анализ Категория:Теория вероятностей Тонелли — Фубини