Подера

Поде́ра (, от др.-греч. πούς, род. пад. ποδός — нога, то есть стопа перпендикуляра; ) кривой относительно точки — некоторая кривая, составленная из оснований перпендикуляров, опущенных из данной точки на касательные к данной кривой.

Устаревший термин подэ́ра, или подэ́рная крива́я.

В некоторых математических текстах вместо русского термина «подера» используется калька с английского «педаль».

Например, подера окружности относительно точки, лежащей не в центре окружности, — это улитка Паскаля.

Подера кривой есть инверсия полярного преобразования кривой, полюсы которых совпадают с полюсом подеры.

Впервые подера рассмотрена 30 июня 1718 года Колином Маклореном (), профессором математики из Абердина, в журнале Философские труды Королевского общества () в статье на латинском языке «III. Трактат о построении и измерении кривых, где большинство бесконечных серий кривых сводятся либо к прямым линиям, либо к более простым кривым. Автор Колин Маклорен, профессор математики в » ().

Определения

Определения подеры и антиподеры на плоскости Поде́ра, или (первая) позитивная подера, или подошвенная кривая (), кривой — некоторая кривая, составленная из оснований перпендикуляров, опущенных из фиксированной точки, которая называется полюсом, или центром, или точкой подеры, на касательные к исходной кривой. Подера кривой порядка , , имеет порядок .

Устаревший термин подэ́ра, или подэ́рная крива́я.

В некоторых математических текстах вместо русского термина «подера» используется калька с английского «педаль».

Антиподе́ра, или (первая) негативная подера (), кривой относительно точки — кривая, подера которой относительно той же точки есть исходная кривая. Другими словами, антиподера — огибающая кривая перпендикуляров, проведённых через точки исходной кривой к прямым, соединяющим точки исходной кривой с фиксированной точкой — полюсом.

Например, парабола есть антиподера прямой, если полюс антиподеры совпадает с фокусом параболы, как показано на рисунке справа.

Построение антиподеры исходя из уже построенной её подеры называется построением с помощью подеры.

Например, всегда получится коническое сечение, если осуществить построение с помощью подеры из окружности или прямой.

Поде́ры степене́й вы́ше пе́рвой обеих разновидностей определяются как подеры подер предыдущей степени с одним и тем же полюсом.

Определение подеры через инверсию и полярное преобразование

Имеет место схема преобразований кривых для подеры, инверсии и полярного преобразования кривой, показанная на рисунке справа, из которой вытекает следующее утверждение: подера кривой есть инверсия полярного преобразования кривой, окружности преобразования которых совпадают, а полюсы совпадают с полюсом подеры.

Другие связанные определения

Поде́рное преобразова́ние — преобразование плоскости, отображающее точки каждой кривой в соответствующие точки её подеры. Это преобразование неточечное, то есть оно не сохраняет точки, прямые и окружности. Подерное преобразование есть касательное преобразование (преобразование Ли).

Поде́рная систе́ма координа́т — система координат, основанная на подерном преобразовании и состоящие из двух величин: расстояний от полюса до точки кривой и до соответствующей точки её подеры.

Поде́ра пове́рхности, или подерная поверхность — некоторая поверхность, составленная из оснований перпендикуляров, опущенных из постоянной точки на касательные плоскости данной поверхности.

Подо́ида, или втори́чная ка́устика (), кривой относительно данного полюса — кривая, получающаяся из подеры растяжением в два раза относительно полюса. Другими словами, подоида — некоторая кривая, составленная из точек, симметричных полюсу относительно касательных данной кривой. Эволюта ортотомики есть каустика.

В некоторых математических текстах вместо русского термина «подоида» используется калька с английского «ортото́мика».

Например, подоида конического сечения относительно его фокуса есть: окружность с центром в другом фокусе эллипса или гиперболы; директриса параболы.

Антиподо́ида кривой относительно полюса — кривая, подоида которой относительно полюса есть исходная кривая. Другими словами, антиподоида — огибающая кривая перпендикуляров, проведённых через середины отрезков, соединяющих точки исходной кривой с полюсом.

Контраподе́ра, или норма́льная поде́ра, или норма́льная поде́рная кри́вая (), кривой относительно полюса — подера эволюты этой кривой относительно того же полюса. Другими словами, котраподера — некоторая кривая, составленная из оснований перпендикуляров, опущенных из полюса на нормали данной кривой. Соответственно, подера кривой относительно полюса — это контраподера эвольвенты этой кривой относительно того же полюса

Уравнения подеры

Параметрические уравнения подеры Параметрические уравнения подеры на вещественной плоскости В общем случае, для параметрически заданной кривой , имеющей производную , подера

относительно точки задаётся следующими уравнениями:

Эти основные уравнения можно принять за определение подеры.

Иногда основные уравнения записывают в более сложном виде:

В частном случае, относительно полюса в начале координат, основные уравнения будут такими:

Параметрические уравнения подеры в двумерном векторном пространстве В векторном виде основное уравнение будет проще:

или в более сложном виде:

где  — вектор нормали, перпендикулярный касательной.

Относительно полюса :

или в более сложном виде:

Параметрические уравнения подеры на комплексной плоскости В комплексных числах для параметрически заданной кривой , имеющей производную , основное уравнение подеры

относительно точки будут ещё проще:

В частном случае, относительно полюса , основное уравнение будет таким:

Параметрические уравнения подеры в вещественном пространстве Для параметрически заданной пространственной кривой , имеющей производную , подера относительно точки задаётся следующими уравнениями:

Прямоугольная система координат Для кривой с неявным уравнением , имеющей частные производные и подера относительно точки задаётся следующими параметрическими уравнениями:

Для поверхности с неявным уравнением , имеющей частные производные , и , подера относительно точки задаётся следующими параметрическими уравнениями:

Подерная система координат Самое простое уравнение подеры получается в подерной системе координат. Для кривой, имеющей подерное уравнение или относительно некоторого полюса, подерное уравнение её подеры или относительно того же полюса

Примеры подеры

Подера окружности

Подера окружности с полюсом в центре есть та же самая окружность. Подера окружности с полюсом вне центра есть улитка Паскаля, в частности, если полюс подеры лежит на самой окружности, то подера — кардиоида.

Найдём уравнение подеры окружности. Уравнение окружности в комплексном параметрическом виде

где  — постоянный комплексный центр окружности;  — постоянный вещественный радиус окружности;  — вещественный параметр. Получаем:

и уравнение подеры окружности с полюсом , то есть улитки Паскаля:

Уравнение улитки Паскаля упростится, если прямая параллельна вещественной оси комплексной плоскости, то есть или

Рассмотрим два частных случая подеры: если и совпадают, то есть подера окружности есть сама окружность с центром в начале координат — полюсе подеры:

если лежит на окружности, то есть имеем уравнение кардиоиды с центром в каспе — полюсе подеры:

если при этом прямая параллельна вещественной оси комплексной плоскости, то есть или то уравнение кардиоиды

а если при этом окружность имеет радиус и слева от , то самое простое уравнение кардиоиды

Подера параболы

Любая парабола имеет подеру — циркулярную кривую 3-го порядка на комплексной проективной плоскости.

Не умаляя общности, уравнение произвольной параболы можно записать в следующем виде: или где  — расстояние от фокуса параболы до её вершины и от вершины до директрисы.

Тогда подера произвольной параболы относительно произвольного полюса есть дефективная гипербола с двойной точкой , асимптотой и следующим уравнением:

Подера эллипса Подера эллипса относительно его фокуса — окружность, относительно центра эллипса — лемниската Бута.

См. также Подерный треугольник Подерная окружность

Примечания

Источники

Категория:Кривые Категория:Поверхности