Интеграл Меллина—Барнса () или интеграл Барнса () в математике — контурный интеграл от функции, содержащей произведение гамма-функций. Интегралы такого типа тесно связаны с обобщёнными гипергеометрическими функциями. Они были введены английским математиком Эрнестом Уильямом Барнсом (Ernest William Barnes, 1874—1953, при переводе на русский язык иногда используется транскрипция «Бернс») в 1908—1910 годах. Похожие интегралы рассматривались финским математиком Ялмаром Меллином (Hjalmar Mellin, 1854—1933) — в частности, в связи с обратным преобразованием Меллина.
Путь интегрирования обычно проходит вдоль мнимой оси комплексной переменной интегрирования s (от до ), но при этом может деформироваться, чтобы отделить полюса гамма-функций типа (которые должны оставаться слева) от полюсов гамма-функций типа (которые должны оставаться справа).
__TOC__
Гипергеометрические функции Гипергеометрическая функция Гаусса может быть следующим образом представлена через интеграл Меллина—Барнса:
Действительно, если замкнуть контур интегрирования вправо, то (при выполнении соответствующих условий сходимости) мы получаем сумму по вычетам гамма-функции в полюсах при s = 0, 1, 2, ... , которая воспроизводит определение гипергеометрической функции Гаусса в виде степенного ряда по z.
Аналогичным образом можно записать интегралы Меллина—Барнса, соответствующие pFq. Для ещё более общей гипергеометрической функции одной переменной, так называемой , представление через интеграл Меллина—Барнса является основным определением функции, так в случае многократных серий полюсов гамма-функций по обеим сторонам контура определение через гипергеометрические ряды (в тех случаях, когда оно возможно) становится довольно громоздким.
Интегралы Меллина—Барнса также обобщаются на случай гипергеометрических функций нескольких переменных, таких как , функция Кампе де Ферье, (названные в честь Джузеппе Лауричеллы) и другие.
Существуют также q-аналоги интегралов Меллина—Барнса для , и на этот случай могут быть обобщены многие важные результаты.
Леммы Барнса Первая лемма Барнса гласит
Эта формула связана с формулой Гаусса, дающей результат для значения гипергеометрической функции при . Она также является обобщением бета-функции (или бета-интеграла) Эйлера, и поэтому этот интеграл иногда называют бета-интегралом Барнса.
Вторая лемма Барнса гласит
где . Эта формула является аналогом .
Примечания
Литература
Категория:Специальные функции Категория:Гипергеометрические функции