Компле́ксная амплитуда (англ. phasor) — комплексная величина, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе гармонического сигнала.
Определение Пусть имеется гармонический сигнал:
где A — амплитуда сигнала, ω — циклическая частота, ϕ — начальная фаза.
Над сигналами, записанными в подобной форме, алгебраически неудобно производить такие арифметические операции, как сложение двух сигналов, вычитание из одного сигнала другого сигнала. С целью облегчения этих операций гармонические сигналы представляют в виде комплексного числа, модуль которого равен амплитуде сигнала, а аргумент — фазе сигнала. Воспользовавшись формулой Эйлера:
.
Оригинальный сигнал a(t) равен действительной части данного комплексного числа:
При этом ,
тогда комплексная амплитуда гармонического сигнала определяется следующим выражением:
.
Физический смысл
Алгебраическая форма Если рассматривать комплексную амплитуду как комплексное число в алгебраической форме, то действительная часть соответствует амплитуде косинусной (синфазной) компоненты, а мнимая — амплитуде синусной (квадратурной) компоненты исходного сигнала. Так, для сигнала (1) имеем:
где
Тригонометрическая форма Если рассматривать комплексную амплитуду как комплексное число в тригонометрической форме, то модуль соответствует амплитуде исходного гармонического сигнала, а аргумент — сдвигу фазы исходного гармонического сигнала относительно сигнала .
Операции над комплексной амплитудой
К сигналам в пространстве комплексных амплитуд могут быть применены линейные операции. Другими словами, перечисленные ниже операции над комплексными амплитудами: умножение комплексной амплитуды на константу, сложение комплексных амплитуд, вычитание комплексных амплитуд, интегрирование комплексной амплитуды по времени, дифференцирование комплексной амплитуды по времени приводят к такому же результату, как если бы они были проделаны над соответствующими гармоническими сигналами затем описаны в терминах комплексных амплитуд.
Ограничения Несмотря на то, что в выражение для комплексной амплитуды не входит частота ω гармонического сигнала, следует помнить, что комплексная амплитуда описывает гармонический сигнал конкретной частоты. Поэтому в пространстве комплексных амплитуд недопустимы операции, которые: принимают в качестве операндов комплексные амплитуды, описывающие гармонические сигналы разных частот. меняют частоту гармонического сигнала или порождают новые частоты (все нелинейные операции, например, перемножение двух сигналов).
Применение Комплексная амплитуда является полным и очень удобным способом описания гармонических сигналов, поскольку: Характеризует и амплитуду, и фазу Не содержит зависимости от времени Позволяет использовать векторные диаграммы для анализа цепей на переменном токе Использование комплексных амплитуд и импедансов позволяет свести задачу прохождения гармонического сигнала через линейную цепь (описывается системой дифференциальных уравнений) к более простой задаче, эквивалентной анализу цепи из резисторов на постоянном токе (описывается системой алгебраических уравнений).
См. также Метод комплексных амплитуд Формула Эйлера
Категория:Теоретические основы электроники