Алгебра Темперли — Либа — алгебра, при помощи которой строятся некоторые . Открыта Невиллом Темперли и Эллиотом Либом. Алгебра применяется в статистической механике, в теории , имеет отношение к теории узлов и группам кос, квантовым группам и подфакторам алгебр фон Неймана.
Определение Пусть — коммутативное кольцо (чаще всего — поле вещественных чисел), в котором зафиксирован элемент . Алгеброй Темперли — Либа называется -алгебра образованная генераторами , подчиняющимися соотношениям Джонса: при при при при , таких что
можно представить как векторное пространство, с базисными векторами, каждый из которых представляет собой диаграмму в виде квадрата, на двух противоположных сторонах которого находятся по точек. Точки образуют n пар, каждая пара соединена кривой, и никакие две кривые не пересекаются. Пять базисных векторов выглядят следующим образом:
.
Умножение двух базисных элементов происходит соединением двух квадратов стык-в-стык, после каждый образовавшийся цикл даёт множитель . Например,
× = = δ .
Единичным элементом является диаграмма с n горизонтальными прямыми, а генератор — диаграмма, в которой i-ая вершина соединена с i+1-ой, 2n − i + 1-ая точка — с 2n − i-ой точкой, а все остальные точки соединены с противоположными себе. К примеру, генераторами являются:
Слева направо: тождественный элемент (единица) и генераторы U1, U2, U3, U4.
Соотношения Джонса можно изобразить графически:
= δ
Ссылки Louis H. Kauffman, State Models and the Jones Polynomial. Topology, 26(3):395-407, 1987. R.J. Baxter, Exactly solved models in statistical mechanics Academic Press Inc., 1982. N. Temperley, E. Lieb, Relations between the percolation and colouring problem and other graph-theoretical problems associated with regular planar lattices: some exact results for the percolation problem. Proceedings of the Royal Society Series A 322 (1971), 251—280.
Категория:Алгебры над кольцами Категория:Теория узлов Категория:Теория кос Категория:Инварианты узлов