Функция Мангольдта — арифметическая функция , равная , если — степень простого числа, в противном случае :
где - простое число и . Функция введена немецким математиком Гансом фон Мангольдтом в 1894 году. Используется в доказательстве закона распределения простых чисел вообще и в арифметических прогрессиях в частности.
Значения
12345678910
Свойства
Сумматорное тождество
Из основной теоремы арифметики следует, что для всех :
Доказательство. При обе части равны . При запишем каноническое разложение:
Прологарифмируем:
Ненулевой вклад в сумму дают лишь делители вида при . Следовательно:
Формула Мёбиуса
Применяя формулу обращения Мёбиуса к предыдущему тождеству, получаем:
Доказательство. Раскроем :
где — единичная арифметическая функция, для которой . Так как для всех , утверждение доказано.
Применение в теории вероятностей и теорема о примитивных множествах
Множество натуральных чисел называется примитивным, если ни один из его элементов не является делителем другого. Примерами примитивных множеств служат множество всех простых чисел, а также множество чисел, имеющих ровно простых множителей (с учётом кратности). В 1935 году Пол Эрдёш доказал, что для любого примитивного множества сумма конечна. Позднее Эрдёш, Шаркози и Семереди выдвинули гипотезу о том, что для любого примитивного множества выполнено:
В 2023 году Дж. Лихтман доказал более слабую оценку .
В апреле 2026 года гипотеза была полностью доказана языковой моделью (под руководством Лиама Прайса). Новаторским инструментом послужило сумматорное тождество функции Мангольдта , с помощью которого был построен марковский процесс фон Мангольдта — цепь Маркова на натуральных числах с переходными вероятностями
Этот нисходящий процесс задаёт инвариантивную меру
где — дзета-функция Римана, а интеграл есть преобразование Меллина от . Поскольку цепь Маркова пересекает любое примитивное множество не более одного раза, из инвариантности меры, построенной посредством функции Мангольдта, следует
что ведёт к требуемой оценке.
Теренс Тао переформулировал это доказательство без использования цепей Маркова, применив дискретный аналог теоремы о дивергенции. Рассматривая граф натуральных чисел с потоком вдоль рёбер , тождество функции Мангольдта обеспечивает почти нулевую дивергенцию в каждой вершине, откуда и вытекает требуемое неравенство. Тао отметил, что этот подход устанавливает ранее неочевидную связь между аналитической теорией чисел и теорией потоков в сетях.
Инвариантная мера , построенная посредством функции Мангольдта, допускает вероятностную интерпретацию через дзета-процесс. Дзета-процесс определяется как семейство случайных величин , где принимает значение с вероятностью , может быть состыковано в монотонную по делимости цепь при . Пуассонизация этой цепи по непрерывному времени воспроизводит марковский процесс фон Мангольдта и позволяет вывести ряд классических результатов, таких как Теорема Харди — Рамануджана о числе простых делителей, Теорема Эрдёша — Каца и сходимость к для нормированных простых делителей.
Связь с распределением простых чисел
Связь с дзета-функцией Римана :
Аналогичные соотношения имеют место и для L-функций Дирихле:
где — постоянная Эйлера Пси-функция Чебышёва — сумматорная функция функции Мангольдта
Формула Перрона, примененная к предыдущему соотношению, даёт
Примечания
Литература
Категория:Аналитическая теория чисел Категория:Арифметические функции