В теории чисел Уникальное простое число — это определённый вид простых чисел. Простое число p ≠ 2, 5 называется уникальным, если не существует другого простого q, такого что длина периода разложения в десятичную дробь обратной величины, 1⁄p, равна длине периода 1⁄q. Уникальные простые впервые были описаны Самюэлем Йетсом (Samuel Yates) в 1980.
Можно показать, что простое p является уникальным с периодом n тогда и только тогда, когда существует натуральное число c, такое что
,
где — это n-ый круговой многочлен. В настоящее время известно более пятидесяти уникальных простых или возможно простых. Однако известно только двадцать три уникальных простых, меньших 10100. Таблица ниже показывает 23 уникальных простых, меньших 10100 () и их периоды ():
Длина периодаПростое1321133741011090911299019333,66714909,0912499,990,00136999,999,000,001489,999,999,900,000,00138909,090,909,090,909,091191,111,111,111,111,111,1112311,111,111,111,111,111,111,11139900,900,900,900,990,990,990,99162909,090,909,090,909,090,909,090,909,091120100,009,999,999,899,989,999,000,000,010,00115010,000,099,999,999,989,999,899,999,000,000,000,100,0011069,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,09193900,900,900,900,900,900,900,900,900,900,990,990,990,990,990,990,990,990,990,991134909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091294142,857,157,142,857,142,856,999,999,985,714,285,714,285,857,142,857,142,855,714,285,571,428,571,428,572,857,143196999,999,999,999,990,000,000,000,000,099,999,999,999,999,000,000,000,000,009,999,999,999,999,900,000,000,000,001
Простое число с периодом 294 похоже на число, обратное 7 (0.142857142857142857…)
Не приведённое в таблице 24-е уникальное простое число содержит 128 знаков и период длиной 320. Оно может быть записано как (932032)2 + 1, где индекс n означает n последовательных копий цифры или группы цифр, находящихся перед индексом.
Хотя уникальные простые числа редки, существует основывающаяся на изучении простых, состоящих из одной цифры, и возможно простых гипотеза о бесконечном числе уникальных простых (любой простой репьюнит уникален).
На 2010 год репьюнит (10270343−1)/9 — наибольшее из известных возможно уникальных простых чисел.
В 1996 году наибольшим проверенным уникальным простым было (101132 + 1)/10001, или, используя использованную выше запись, (99990000)141+ 1. Его период равен 2264. Рекорд был с тех пор несколько раз улучшен. К 2010 году наибольшее проверенное уникальное простое число имело 10,081 знаков.
Ссылки The Prime Glossary: Unique prime Prime Top Tens Unique Period Primes Factorization of 11...11 (Repunit)
Примечания
Категория:Теория чисел Категория:Классы простых чисел