В алгебраической теории чисел теория Куммера дает описание некоторых видов расширений поля, состоящих в добавлении к исходному полю корня n-ой степени из его элемента. Теория была разработана Эрнстом Эдуардом Куммером около 1840 года в его работе, связанной с теоремой Ферма.
При условии, что характеристика поля p взаимно проста с n при p > 0, основное утверждение теории не зависит от природы поля и потому относится к общей алгебре.
Теория Куммера имеет аналог для случая n=р (теория Артина — Шрейера). Роль группы (см. ниже) в этом случае играет аддитивная группа простого подполя исходного поля.
Существует также принадлежащее Э. Витту обобщение этой теории для случая , где , использующее векторы Витта.
Теория Куммера является базовой, например, в теории полей классов и в понимании абелевых расширений. Она утверждает, что при наличии достаточного числа корней из единицы циклические расширения могут быть поняты в терминах выделения корней.
Расширения Куммера Расширение Куммера — это расширение поля L/K (то есть вложение поля K в поле L), такое что для некоторого целого n > 1 выполняются следующие два условия:
K содержит n различных корней из единицы n-ой степени (то есть все корни уравнения xn−1) L/K содержит абелеву группу Галуа степени n (то есть n — наименьшее общее кратное порядков элементов этой группы).
Например, для n = 2 первое условие всегда верно, если характеристика K ≠ 2. Расширения Куммера в этом случае включают квадратичные расширения L = K(√a), где a в K не является квадратом. При решении квадратных уравнений любое расширение K степени 2 имеет такой вид. Расширение Куммера включает в этом случае также биквадратные расширения и, обобщенно, мультиквадратные расширения. При характеристике K, равной 2, такие расширения Куммера отсутствуют.
При n = 3 не существует расширений Куммера степени 3 в поле рациональных чисел Q, поскольку нужны три кубических корня из 1, так что нужны комплексные числа. Если L — поле разложения X3 − a над Q, где a не является кубом рационального числа, то L содержит подполе K с тремя кубическими корнями из 1. Последнее следует из факта, что если α и β — корни кубического многочлена, мы должны получить (α/β)3 =1, что является сепарабельным многочленом. Таким образом, L/K — расширение Куммера.
Обобщая, если K содержит n различных корней из единицы n-ой степени и характеристика K не делит n, добавление к K корня n-ой степени из какого-либо элемента a из K образует расширение Куммера (степени m, которое делит n).
В качестве поля разложения полинома Xn − a расширение Куммера необходимо в расширении Галуа циклической группы Галуа порядка m.
Теория Куммера Теория Куммера утверждает, что при наличии в K первообразного корня степени n, любое циклическое расширение K степени n образуется присоединением корня n-ой степени.
Если K× — мультипликативная группа ненулевых элементов K, циклические расширения K степени n соответствуют однозначно циклическим подгруппам
то есть элементы K× по модулю n-х степеней.
Соответствие можно записать следующим образом: пусть задана циклическая подгруппа
соответствующее расширение задается формулой
то есть присоединением n-х корней элементов Δ к K.
И обратно, если L — расширение Куммера для K, то Δ задается формулой
В этом случае существует изоморфизм
задаваемый формулой
где α — любой корень из a n-ой степени в L.
Обобщения Имеется небольшое обобщение теории Куммера на абелевы расширения группы Галуа степени n, и аналогичное утверждение верно в этом контексте. А именно, можно доказать, что такие расширения являются однозначным отображением в подгруппы
Если основное поле K не содержит корней из единицы n-ой степени, иногда используют изоморфизм
См. также Квадратичное поле
Ссылки Bryan Birch, "Cyclotomic fields and Kummer extensions", in J.W.S. Cassels and A. Frohlich (edd), Algebraic number theory, Academic Press, 1973. Chap.III, pp. 85–93. Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968; Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969; Таkahashi S., "J. Math. Soc. Japan", 1968, v. 20, № 1-2, p. 365
Категория:Теория полей Категория:Алгебраическая теория чисел