Гомоте́тия (от «одинаковый» + «расположенный») — преобразование плоскости (или 3-мерного пространства), заданное центром O и коэффициентом , переводящее каждую точку в точку такую, что . При этом центр остаётся на месте. Гомотетию с центром O и коэффициентом k часто обозначают через .
Свойства Является частным случаем преобразования подобия: в общем случае при преобразовании подобия все векторы по определению просто пропорционально изменяют свою длину, а при гомотетии векторы остаются коллинеарны самим себе, какими они стали после преобразования. Поэтому вместо «коэффициент гомотетии » можно говорить «коэффициент подобия ». Если коэффициент гомотетии равен 1, то гомотетия является тождественным преобразованием: образ каждой точки совпадает с ней самой. Если коэффициент гомотетии равен −1, то гомотетия является центральной симметрией. Если на рисунке выше стороны подобных многоугольников относятся как , то их площади будут относиться как (на плоскости и 3-мерном пространстве это утверждение представляет собой закон квадрата — куба). Композиция гомотетий с коэффициентами и , произведение которых не равно единице, — это гомотетия с коэффициентом , центр которой лежит на одной прямой с центрами двух данных гомотетий.
Вариации и обобщения называют композицию гомотетии и поворота, имеющих общий центр. Порядок, в каком берётся композиция, несущественен, так как . Коэффициент поворотной гомотетии можно считать положительным, так как .
См. также Аффинное преобразование Коллинеарность Непрерывное отображение Отношение направленных отрезков Подобие Гипотеза Хадвигера (комбинаторная геометрия) Лемма Архимеда Теорема Монжа
Ссылки
Категория:Преобразования пространства