Число Пелля — целое число, входящее в качестве знаменателя в бесконечную последовательность подходящих дробей для квадратного корня из 2. Эта последовательность приближений начинается следующим образом: , то есть первые числа Пелля — 1, 2, 5, 12 и 29. Числители той же последовательности приближений являются половинами сопутствующих чисел Пелля или числами Пелля — Люка — бесконечной последовательностью, начинающейся с 2, 6, 14, 34 и 82.

Обе последовательности, числа Пелля и сопутствующие числа Пелля, могут быть вычислены с помощью рекуррентного соотношения, похожего на формулы для чисел Фибоначчи, и обе последовательности чисел растут экспоненциально, пропорционально степени серебряного сечения .

Кроме использования в цепной дроби приближений к квадратному корню из двух, числа Пелля могут быть использованы для поиска квадратных треугольных чисел и для решения некоторых комбинаторных задач перечисленияНапример, Селлерс (Sellers) в 2002 году показал, что количество совершенных паросочетаний в декартовом произведении путей и графа K4-e может быть вычислено как произведение числа Пелля на соответствующие число Фибоначчи.

Последовательность чисел Пелля известна с древних времен. Как и уравнение Пелля, числа Пелля ошибочно приписаны Леонардом Эйлером Джону Пеллю. Числа Пелля — Люка названы в честь Эдуарда Люка, который изучал эти последовательности. И числа Пелля, и сопутствующие числа Пелля, являются частными случаями последовательностей Люка.

Числа Пелля Числа Пелля задаются линейным рекуррентным соотношением:

и являются частным случаем последовательности Люка.

Первые несколько чисел Пелля: , 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , …

Числа Пелля можно выразить формулой: . Для больши́х значений член доминирует в этом выражении, так что числа Пелля примерно пропорциональны степеням серебряного сечения , аналогично тому, как числа Фибоначчи примерно пропорциональны степеням золотого сечения.

Возможно и третье определение — в виде матричной формулы: .

Многие тождества могут быть доказаны из этих определений, например тождество, аналогичное тождеству Кассини для чисел Фибоначчи: , как непосредственное следствие матричной формулы (подставляя определители матриц слева и справа).

Приближение к квадратному корню из двух

Числа Пелля возникли исторически из рациональных приближений к квадратному корню из 2. Если два больших целых и дают решение уравнения Пелля: , то их отношение даёт близкое приближение к . Последовательность приближений этого вида: , где знаменатель каждой дроби — число Пелля, а числитель равен сумме числа Пелля и его предшественника в последовательности. Таким образом, приближения имеют вид .

Приближение:

было известно математикам Индии в III—IV столетии до нашей эры. Платон ссылается на числители как «рациональные диаметры»Например, в «Государстве» Платона имеется ссылка на «рациональный диаметр пяти», под которым Платон подразумевал 7, числитель приближения 7/5.. Во втором столетии нашей эры Теон Смирнский использовал термины «сторона и диаметр» для описания знаменателя и числителя этой последовательности.

Эти приближения могут быть получены из цепной дроби :

Конечная часть цепной дроби даёт аппроксимацию в виде чисел Пелля. Например: .

Как писал Кнут (1994), факт приближения числами Пелля позволяет использовать их для рационального приближения к правильному восьмиугольнику с координатами вершин и . Все вершины этого восьмиугольника одинаково удалены от центра и формируют почти одинаковые углы. Также точки , и формируют восьмиугольник, у которого вершины почти одинаково удалены от центра и формируют одинаковые углы.

Простые и квадраты Простым числом Пелля называется число Пелля, являющееся также простым. Несколько первых простых чисел Пелля: 2, 5, 29, 5741, , , , , , , , … Как и в случае с числами Фибоначчи, число Пелля может быть простым только если само просто.

Имеется всего три числа Пелля, являющимися квадратами, кубами и другими более высокими степенями, — это 0, 1 и 169 = 132Pethő (1992); Cohn (1996). Хотя числа Фибоначчи определяются рекуррентными формулами, очень похожими на формулы для чисел Пелля, Кон (Cohn) пишет, что аналогичные результаты для чисел Фибоначчи куда сложнее доказать (однако, они доказаны в 2006 году Бугеадом [Bugeaud])..

Несмотря на то, что имеется столь мало квадратов и других степеней среди чисел Пелля, они имеют близкую связь с квадратными треугольными числамиSesskin (1962).. Эти числа возникают из следующего тождества:

Левая часть этого тождества даёт квадратное число, в то время как правая часть даёт треугольное число, так что в результате получим квадратное треугольное число.

Сантана (Santana) и Диац-Барреро (Diaz-Barrero) (2006) доказали другое тождество, связывающее числа Пелля с квадратами, показав, что сумма чисел Пелля до всегда квадрат:

Например, сумма чисел Пелля до , , является квадратом числа .

Числа , образующие квадратные корни таких сумм, 1, 7, 41, 239, 1393, 8119, , , , , , , , , , , , , , , , , , … (), известны как простые числа Ньюмена — Шэнкса — Уильямса.

Пифагоровы тройки

Если прямоугольный треугольник имеет стороны a, b, c (по теореме Пифагора a2+b2=c2), то (a,b,c) известны как пифагоровы тройки. Мартин (Martin) (1875) пишет, что числа Пелля могут быть использованы для формирования пифагоровых троек, в которых a и b отличаются на единицу, что соответствует почти равнобедренному прямоугольному треугольнику. Каждая такая тройка имеет вид

Последовательность пифагоровых троек, полученного таким способом (4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ….

Числа Пелля — Люка Сопутствующие числа Пелля или числа Пелля — Люка определяются линейным рекуррентным соотношением:

То есть, первые два числа в последовательности равны 2, а все остальные формируются как сумма удвоенного предыдущего числа Пелля — Люка и предшествующего ему, или, что эквивалентно, сложением следующего числа Пелля и предыдущего числа. Так, сопровождающим для 82 является число 29, и 82 = 2 · 34 + 14 = 70 + 12.

Сопутствующие числа Пелля образуют последовательность: 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, 2786, 6726, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , …

Сопутствующие числа Пелля можно выразить формулой: .

Все эти числа чётны, каждое из них является удвоенным числителем в приближении рациональными числами к .

Вычисления и связи Следующая таблица даёт несколько первых степеней серебряного сечения и связанного с ним . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

Коэффициенты представляют собой половины сопутствующих чисел Пелля и числа Пелля , являющиеся неотрицательными решениями уравнения .

Квадратное треугольное число — это число , которое является как -м треугольным числом так и -м квадратным. Почти равнобедеренные пифагоровы тройки являются целыми решениями , где .

Следующая таблица показывает разложение нечетных на две почти одинаковые половинки, дающее квадратное треугольное число когда n четно и почти равнобедренную пифагорову тройку, когда n нечетно.

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

Определения Половины сопутствующих чисел Пелля и числа Пелля могут быть получены несколькими эквивалентными путями:

Возведение в степень:

Откуда следует:

и

Парные рекуррентные отношения:

или, в матричном виде:

Таким образом

Приближения Разность и равна , что быстро стремится к нулю. Таким образом очень близко к .

Из этого наблюдения следует, что отношение целых быстро приближается к в то время как и быстро приближается к .

H2 − 2P2 = ±1 Поскольку является иррациональным, мы не можем получить , то есть . Лучшее, что мы можем получить, это либо либо .

Неотрицательными решениями являются пары с четным n, и решениями являются пары с n нечетным.

Чтобы понять это, заметим

так что, начиная с знак чередуется (). Заметим теперь, что каждое положительное решение можно получить из решения с меньшим индексом благодаря равенству .

Квадратные треугольные числа

Требуемое равенство эквивалентно , что превращается в при подстановке и . Отсюда n-м решением будет и

Заметим, что и взаимно просты, так что возможно только тогда, когда они являются соседними целыми, одно — квадрат и другое — удвоенный квадрат . Поскольку мы знаем все решения уравнения, мы получаем

и

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

Триплеты Пифагора Равенство верно только при , что превращается в при подстановке . Тогда n-м решением является и

Таблица выше показывает, что с точностью до порядка и равны и , в то время как

Примечания

Литература

Ссылки

Категория:Теория чисел Категория:Теория простых чисел Категория:Рекурсия Категория:Целочисленные последовательности Категория:Непрерывная дробь