__NOTOC__ Праймориальное простое — простое число вида , где — праймориал числа (то есть произведение первых простых чисел).
Первые праймориальные простые вида — для , вида — для , таким образом, несколько первых праймориальных простых: 3, 5, 7, 29, 31, 211, 2309, 2311, , , , … .
Максимальным известным праймориальным простым числом вида является найденное в проекте PrimeGrid в 2021 году число с 1418398 знаками; наибольшее известное праймориальное простое вида — с 169966 знаками вычислено Даниэлем Хойером в 2001 году.
Числа вида (не обязательно простые) называются числами Евклида, несколько первых таких чисел: 3, 7, 31, 211, 2311, , , …
Широко распространено мнение, что идея праймориальных простых принадлежит Евклиду и появилась в его доказательстве бесконечности числа простых чисел: если предположить, что существует только простых чисел, то число взаимно просто с ними, а значит либо оно является простым, либо существует ещё одно простое число.
Открытой проблемой остаётся вопрос о конечности или бесконечности количества праймориальных простых чисел, и, в частности, простых евклидовых чисел.
Первое евклидово число, не являющееся простым — 30031. Последний десятичный знак всякого евклидова числа , кроме первых двух, равен 1, поскольку делится на 2 и 5. Числа Евклида не могут быть квадратными, поскольку они всегда сравнимы с 3 по модулю 4.
Числа вида называются числами Куммера.
Примечания
Ссылки A. Borning, «Some Results for and » Math. Comput. 26 (1972): 567—570. Chris Caldwell, The Top Twenty: Primorial at The Prime Pages.
Harvey Dubner, «Factorial and Primorial Primes.» J. Rec. Math. 19 (1987): 197—203. Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records. New York: Springer-Verlag (1989): 4.
Категория:Теория чисел Категория:Классы простых чисел