Преобразование Меллина — преобразование, которое можно рассматривать как мультипликативную версию двустороннего преобразования Лапласа. Это интегральное преобразование тесно связано с теорией рядов Дирихле и часто используется в теории чисел и в теории асимптотических разложений. Преобразование Меллина тесно связано с преобразованием Лапласа и преобразованием Фурье, а также теорией гамма-функций и теорией смежных специальных функций.
Преобразование названо по имени исследовавшего его финского математика Ялмара Меллина.
Определение Прямое преобразование Меллина задаётся формулой: . Обратное преобразование — формулой: .
Предполагается, что интегрирование происходит в комплексной плоскости. Условия, при которых можно делать преобразование, совпадают с условиями .
Связь с другими преобразованиями Двусторонний интеграл Лапласа может быть выражен через преобразование Меллина: . И наоборот: преобразование Меллина выражается через преобразование Лапласа формулой:
Преобразование Фурье может быть выражено через преобразование Меллина формулой: . Обратно: .
Преобразование Меллина также связывает интерполяционные формулы Ньютона или биномиальные преобразования с производящей функцией последовательности с помощью цикла Пуассона — Меллина — Ньютона.
Примеры
Интеграл Каэна — Меллина Если:
на , то (See notes therein for further references to Cahen’s and Mellin’s work, including Cahen’s thesis.) , где — гамма-функция.
Назван по именам Ялмара Меллина и французского математика .
Преобразование Меллина для лебегова пространства В гильбертовом пространстве преобразование Меллина задаётся несколько иначе. Для лебегова пространства любая фундаментальная полоса включает в себя . В связи с этим возможно задать линейный оператор как: . То есть: .
Обычно этот оператор обозначается и называется преобразованием Меллина, но здесь и в дальнейшем мы будем использовать обозначение .
показывает, что
Кроме того, этот оператор изометричен, то есть для . Это объясняет коэффициент
Связь с теорией вероятностей В теории вероятностей преобразование Меллина является важным инструментом для изучения распределения случайных величинGalambos, Simonelli, 2004, стр. 15.
Если:
— случайная величина,
то преобразование Меллина определяется как:
где — мнимая единица.
Преобразование Меллина случайной величины однозначно определяет её функцию распределения .
Применение Преобразование Меллина особенно важно для информационных технологий, особенно для распознавания образов.
Примечания
Литература
Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Ссылки Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, Mellin Transforms and Asymptotics: Harmonic sums. Antonio Gonzáles, Marko Riedel Celebrando un clásico , newsgroup es.ciencia.matematicas Juan Sacerdoti, Funciones Eulerianas (in Spanish). Mellin Transform Methods , Digital Library of Mathematical Functions, 2011-08-29, National Institute of Standards and Technology Antonio De Sena and Davide Rocchesso, A Fast Mellin Transform With Applications in DAFX
Категория:Комплексный анализ Категория:Интегральные преобразования