Формула Фейнмана — Каца — математическая формула, устанавливающая связь между дифференциальными уравнениями с частными производными (специального типа) и случайными процессами. Названа в честь физика Ричарда Фейнмана и математика Марка Каца.
В частности, эта формула дает метод решения уравнения с частными производными с помощью траекторий случайного процесса (так называемый метод Монте-Карло). И наоборот, математическое ожидание случайного процесса может быть вычислено как решение соответствующего уравнения с частными производными.
Формулировка в одномерном случае Рассмотрим дифференциальное уравнение
с неизвестной функцией , в котором и — независимые переменные, — известные функции. Формула Фейнмана — Каца утверждает, что решение уравнения (*) с начальным (в обратном времени) условием
может быть выражено как условное математическое ожидание
где — вероятностная мера, такая что случайный процесс является процессом Ито, описываемым стохастическим уравнением
в котором — винеровский процесс, с начальным условием .
Многомерный вариант Формула Фейнмана — Каца имеет многомерный аналог, когда переменная .
В этом случае дифференциальное уравнение (*) имеет вид
и n-мерный случайный процесс описывается стохастическим уравнением
в котором — это вектор-столбец , — n-мерный винеровский процесс, — квадратная матрица порядка n, связанная с матрицей формулой
звёздочка означает транспонирование.
См. также Стохастическое дифференциальное уравнение Формула Ито Уравнение Колмогорова — Чепмена Уравнение Фоккера — Планка
Литература
Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных Категория:Статистическая физика Категория:Случайные процессы Фейнмана — Каца