Уравнение состояния Ми — Грюнайзена — это уравнение, описывающее связь между давлением и удельным объёмом в среде при заданной температуре. Это уравнение в том числе используется для определения давления в процессе ударного сжатия твёрдого тела. Названо в честь немецкого физика Эдуарда Грюнайзена. Уравнение состояния Ми — Грюнайзена представляется в следующей форме:
где и — давление и внутренняя энергия в известном начальном состоянии, — объём, — полное давление, — внутренняя энергия, и — безразмерный коэффициент Грюнайзена, который определяет тепловое давление в правой части из тепловой энергии колеблющихся атомов, а — давление на известной кривой в плоскости , например изотерм при комнатной температуре или абсолютном нуле (холодное давление).
Функция Грюнайзена — мера изменения давления при изменении энергии системы при постоянном объёме. Она определяется по соотношению:
Производная берётся при постоянном объёме.
Уравнение Ми — Грюнайзена предполагает линейную зависимость давления от внутренней энергии. Для определения функции Грюнайзена используются методы статистической физики и предположение о линейности межатомных взаимодействий.
Оно используется для решения определённых термо-механических задач: определении эффектов ударной волны, термическом расширении твёрдых тел, быстром нагревании материалов из-за поглощения ядерного излучения.
Для вывода уравнения Ми — Грюнайзена используется уравнение Ранкина-Гюгонио для сохранения массы, момента и энергии:
где ρ0 — относительная плотность, ρ — плотность после ударного сжатия, pH — давление Гюгонио, EH — удельная внутренняя энергия (на единицу массы) Гюгонио, Us — скорость удара, и Up — скорость частиц.
Параметры для различных материалов Типичные различные для разных материалов величины для моделей в форме Ми — Грюнайзена. Материал (kg/m3) (m/s) (K) Медь 8924 3910 1.51 1.96 1 0 0 Вода 1000 1483 2.0 2.0 10−4 0 0
Параметр Грюнайзена для идеальных кристаллов с парными взаимодействиями
Выражение для параметра Грюнайзена для идеальных кристаллов с парными взаимодействиями в пространстве размерности имеет вид:
где — потенциал межатомного взаимодействия, — равновесное расстояние, — размерность пространства. Связь параметра Грюнайзена с параметрами потенциалов Леннард-Джонса, Ми и Морзе представлена в таблице.
РешеткаРазмерностьПотенциал Леннард-ДжонсаПотенциал МиПотенциал Морзе Цепочка Треугольная решётка ГЦК, ОЦК «Гиперрешётка» Общая формула
Выражение для параметра Грюнайзена одномерной цепочки с взаимодействиями посредством потенциала Ми, приведенное в таблице, в точности совпадает с результатом статьи.
См. также Термодинамическое равновесие
Литература Кривцов А. М., Кузькин В. А. Получение уравнений состояния идеальных кристаллов простой структуры // Известия РАН. Механика твёрдого тела. — 2011. — № 3. — С. 67—72. Vocadlo L., Poirer J.P., Price G.D. Grüneisen parameters and isothermal equations of state. American Mineralogist. — 2000. V. 85. — P. 390—395. Harris P., Avrami L. Some Physics of the Gruneisen Parameter. Technical report. — 1972. Shyue K.-M., A Fluid-Mixture Type Algorithm for Compressible Multicomponent Flow with Mie-Gruneisen Equation of State // Journal of Computational Physics. — 2001. Vol. 52. 3363 p.
Ми — Грюнайзена Категория:Механика сплошных сред Категория:Механика твёрдого деформируемого тела Ми — Грюнайзена