Многочле́ны Гегенба́уэра или ультрасфери́ческие многочле́ны в математике — многочлены, ортогональные на отрезке [−1,1] с весовой функцией . Они могут быть явным образом представлены как
где — гамма-функция, а обозначает целую часть числа n/2.
Многочлены Гегенбауэра являются обобщением многочленов Лежандра и Чебышёва и являются частным случаем многочленов Якоби. Также многочлены Гегенбауэра связаны с представлением специальной ортогональной группы . Они названы в честь австрийского математика Леопольда Гегенбауэра (1849—1903).
Производящая функция и частные значения аргумента Многочлены Гегенбауэра могут быть определены через производящую функцию:
Поскольку производящая функция не меняется при одновременной замене , , то
из чего следует, что при чётном n многочлены Гегенбауэра содержат только чётные степени z, а при нечётном n — только нечётные степени z.
Через производящую функцию можно получить значения многочленов Гегенбауэра при z=1 и z=0 как коэффициенты разложений и соответственно:
(для чётных n), (для нечётных n),
где используется стандартное обозначение для символа Похгаммера,
.
Рекуррентное соотношение и частные случаи Многочлены Гегенбауэра удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению, которое можно использовать для построения полиномов с :
В частности,
и так далее.
Дифференциальное уравнение и связь с другими функциями Многочлены Гегенбауэра удовлетворяют дифференциальному уравнению Гегенбауэра
При это уравнение сводится к дифференциальному уравнению Лежандра и, соответственно, многочлены Гегенбауэра сводятся к многочленам Лежандра.
Многочлены Гегенбауэра можно выразить через конечный гипергеометрический ряд
Многочлены Гегенбауэра являются частным случаем многочленов Якоби c :
Производная многочлена Гегенбауэра выражается через многочлен со сдвинутыми индексами
Они могут быть выражены через формулу Родрига
Ортогональность и нормировка Для данного многочлены Гегенбауэра ортогональны на отрезке [−1,1] с весовой функцией , то есть (для n ≠ m),
Они нормализованы как
Случай комплексного аргумента Если , где и — действительные переменные (и тоже действительна), то действительную и мнимую части полиномов Гегенбауэра можно выразить в следующем виде:
См. также Ортогональные многочлены Многочлены Чебышёва Многочлены Лежандра Многочлены Якоби
Примечания
Литература
Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, , (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. См. Chapter 22
Ссылки Gegenbauer Function, functions.wolfram.com Eric W. Weisstein, Gegenbauer Polynomial, MathWorld — mathworld.wolfram.com
Категория:Ортогональные многочлены