В аналитической теории чисел функцией Дикмана (другое название — функция Дикмана — де Брёйна) ρ называется специальная функция, используемая для оценки числа гладких чисел для заданной границы. Впервые функция появилась у Карла Дикмана, в его единственной статье, посвященной математике. Позже функция была изучена датским математиком Николасом де Брёйном.
Определение Функция Дикмана — де Брёйна — это непрерывная функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению со сдвигом
с начальными условиями для 0 ≤ u ≤ 1.
Дикман, основываясь на эвристических соображениях, показал, что
где — число y-гладких целых, меньших x.
В. Рамасвами (V. Ramaswami) позднее дал строгое доказательство, что
в нотации О большое.
Приложения Основное приложение функция Дикмана-де Брёйна находит в оценке частоты появления гладких целых в заданных границах. Функция может быть использована для оптимизации различных теоретико-числовых алгоритмов, хотя и сама по себе она интересна.
Используя , можно показать, что
,
что связано с оценкой , приведенной ниже.
Постоянная Голомба — Дикмана имеет альтернативное определение в терминах функции Дикмана — де Брёйна.
Оценка Простым приближением может служить Лучшую оценку даёт
,
где Ei — интегральная показательная функция, а ξ — положительный корень уравнения
Простую верхнюю оценку дает
1 1 2 3.0685282 3 4.8608388 4 4.9109256 5 3.5472470 6 1.9649696 7 8.7456700 8 3.2320693 9 1.0162483 10 2.7701718
Вычисление Для каждого интервала [n − 1, n] с целым n существует аналитическая функция , такая, что . Для 0 ≤ u ≤ 1, . Для 1 ≤ u ≤ 2, . Для 2 ≤ u ≤ 3,
,
где Li2 — дилогарифм. Остальные могут быть вычислены, используя бесконечные ряды.
Альтернативным методом вычисления может служить определение верхней и нижней границ методом трапеций.
Расширение Бах и Перальта определили двумерный аналог функции . Эта функция используется для оценки функции , аналогичной функции де Брёйна, но учитывающей число y-гладких целых чисел с хотя бы одним простым множителем, большим z. Тогда
Ссылки
Внешние ссылки
Категория:Аналитическая теория чисел Категория:Специальные функции