Модель Рамсея — Касса — Купманса (модель Рамсея, неоклассическая модель экономического роста, ) — неоклассическая модель экзогенного экономического роста в условиях совершенной конкуренции. Внесла вклад в понимание того, каким образом решения индивидов формируют норму сбережений в экономике. Оптимальная динамика потребления из модели (правило Кейнса — Рамсея) оказалась удачной заменой экзогенной норме сбережений и затем применялась и в более поздних моделях экономического роста. Вместе с тем, модель не даёт удовлетворительного объяснения межстрановым различиям в уровне дохода на душу населения. Разработана одновременно и независимо друг от друга Тьяллингом Купмансом и с использованием идей Фрэнка Рамсея в 1963 году.

История создания В первых моделях экономического роста (модель Солоу, модель Харрода — Домара) использовались экзогенно задаваемые параметры: «норма сбережений» и «темп научно-технического прогресса», от которых, в конечном итоге, и зависят темпы роста экономики. Исследователи же хотели получить обоснование темпов экономического роста внутренними (эндогенными) факторами, поскольку модели с нормой сбережений имели ряд недостатков. Эти модели не объясняли устойчивые различия в уровнях и темпах роста между развивающимися и развитыми странами. Для объяснения нормы сбережений как следствия решений экономических агентов, исследователи обратились к работе Фрэнка Рамсея «Математическая теория сбережений», опубликованной в ещё в декабре 1928 года. В ней была выведена межвременная функция полезности потребителя и найдено условие оптимального выбора потребителя. Используя идеи Фрэнка Рамсея, будущий лауреат Нобелевской премии по экономике Тьяллинг Купманс в работе «Оптимальный рост в агрегированной модели накопления капитала», опубликованной как «работа для обсуждения» в Йельском университете 6 декабря 1963 года, и изданной в более подробной версии в сборнике The Econometric Approach to Development Planning в 1965 году, и в работе «Оптимальный рост в агрегированной модели накопления капитала», изданной в июле 1965 года в журнале представили модель Рамсея — Касса — Купманса (также известную как модель Рамсея, неоклассическая модель экономического роста), главной особенностью которой стало определение нормы сбережений в ходе решения задач оптимизации потребителями и фирмами, взаимодействующими в условиях совершенной конкуренции.

Работы Дэвида Касса и Тьяллинга Купманса фактически излагают одинаковую модель (за исключением условия трансверсальности, введенного Кассом). Хотя работа Касса опубликована позже и в ней есть ссылка на работу Купманса, при этом Купманс, в свою очередь, в изданной полной версии работы, в которой также появляется условие трансверсальности, ссылается на диссертацию Касса. Оба исследователя предполагали, что пришли к этой модели «одновременно и независимо друг от друга». Подробно история с названием данной модели изложена в работе Стивена Спира и Уоррена Янга «Оптимальные сбережения и оптимальный рост: модель Рамсея — Малинво — Купманса». В ней авторы отмечают вклад Эдмона Малинво, который сформулировал условие трансверсальности раньше Касса, однако не применил его к рассматриваемой модели.

Описание модели

Базовые предпосылки модели В модели рассматривается закрытая экономика. Фирмы максимизируют свою прибыль, а потребители — полезность. Фирмы функционируют в условиях совершенной конкуренции. Производится только один продукт , используемый, как для потребления , так и для инвестиций . Темпы технологического прогресса , роста населения и норма выбытия капитала — постоянны и задаются экзогенно. В качестве работника и потребителя в модели выступает бесконечно живущий индивид (или домохозяйство). Предполагается, что между разными поколениями существуют альтруистические связи, при принятии решений домохозяйство учитывает ресурсы и потребности не только настоящих, но и будущих своих членов, что делает его решения аналогичным решениям бесконечно живущего индивида. Время изменяется непрерывно.

Доходы индивида состоят из заработной платы и поступлений от активов . Активы индивида могут быть как положительными, так и отрицательными (долг). Процентная ставка по доходам с активов и по долгу в модели принята одинаковой. В связи с этим в модели присутствует условие отсутствия схемы Понци (финансовой пирамиды): нельзя бесконечно выплачивать старые долги за счет новых:

, где — в закрытой экономике весь капитал принадлежит резидентам, а величина активов индивида совпадает с запасом капитала на одного работающего .

Предпосылка о закрытой экономике означает, что произведенный продукт тратится на инвестиции и потребление, экспорт и импорт отсутствуют, сбережения равны инвестициям: , .

Производственная функция удовлетворяет неоклассическим предпосылкам:

1) технологический прогресс увеличивает производительность труда (нейтрален по Харроду): .

2) в производственной функции используются труд и капитал , она обладает постоянной отдачей от масштаба: .

3) предельная производительность факторов положительная и убывающая: .

4) производственная функция удовлетворяет условиям Инады, а именно, если запас одного из факторов бесконечно мал, то его предельная производительность бесконечно велика, если же запас одного из факторов бесконечно велик, то его предельная производительность бесконечно мала: .

5) для производства необходим каждый фактор: .

Население , равное в модели совокупным трудовым ресурсам, растет с постоянным темпом : .

Индивид предлагает одну единицу труда (предложение труда неэластично) и получает натуральную заработную плату (в единицах товара). Функция полезности бесконечно живущего индивида-потребителя имеет вид:

,

где  — потребление на душу населения в момент времени ;  — коэффициент межвременного предпочтения потребителя,.

Функция полезности является сепарабельной, то есть потребление прошлых и будущих периодов не влияют на текущую полезность, влияет только потребление текущего периода. Она удовлетворяет условиям и условиям Инады (при потреблении, стремящемся к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности, при потреблении, стремящемся к бесконечности, предельная полезность стремится к нулю): .

Для поиска решения модели используются удельные показатели: выпуск на единицу труда , выпуск на единицу эффективного труда , запас капитала на единицу эффективного труда , потребление на единицу эффективного труда .

Задача потребителя Доходы индивида расходуются либо на потребление, либо на увеличение активов (сбережений). Население растет темпом , поэтому активы на одного человека сокращаются с этим же темпом, то есть скорость изменения активов в каждый момент времени уменьшается на . Таким образом, производная активов по времени , выступающая в качестве бюджетного ограничения индивида, имеет вид: .

Задача потребителя заключается в максимизации полезности при бюджетном ограничении и при ограничении на отсутствие схемы Понци. Поскольку бюджетное ограничение представлено как производная по времени, то задача потребителя представлена в виде задачи динамической оптимизации. Её решение можно найти путём построения функция Гамильтона и нахождения её максимума с помощью принципа максимума Понтрягина.

Функция Гамильтона выглядит следующим образом:

при условии:

.

Условие максимума первого порядка: .

Фазовая координата (сопряжённое уравнение): , где — производная по времени.

Условие трансверсальности (при невыполнении которого найденное решение может оказаться не максимумом, а седловой точкой): , где представляют собой активов (теневые цены учитывают внешние эффекты в стоимости товаров, если фирмы и потребители принимают решения в соответствии со структурой цен, пропорциональной теневой, то в экономике достигается оптимальное по Парето состояние). В данном случае условие трансверсальности совпадает с ограничением на отсутствие схемы Понци.

Искомое решение имеет вид:

,

где — производная потребления по времени, — эластичность предельной полезности по потреблению. Поскольку для дальнейшего анализа необходимо, чтобы эта величина была постоянной, вводится дополнительная предпосылка о виде функции полезности: в качестве неё используют функцию с постоянной эластичностью замещения:

.

В таком случае, , а значит:

, где — производная потребления на душу населения по времени.

Найденное решение называется правилом Кейнса — Рамсея. Оно было получено Фрэнком Рамсеем, а содержательную интерпретацию ему дал Джон Кейнс.

Задача фирмы Производственную функцию можно записать через удельные показатели: . Задача фирмы состоит в максимизации прибыли :

Поскольку фирмы функционируют в условиях совершенной конкуренции, то предельные производительности факторов производства равны их ценам:

, .

Общее экономическое равновесие

Учитывая, что , подставив полученные из решения задачи фирмы значения и в уравнение динамики активов, получим:

.

Поскольку , решение задачи потребителя можно записать в следующем виде:

.

В стационарном состоянии . Откуда, получаем, что . В итоге, устойчивое состояние описывается системой уравнений:

где — потребление, а — капиталовооружённость на единицу эффективного труда в устойчивом состоянии.

По условию трансверсальности:

, откуда следует что . С учетом уравнения для , это условие означает, что для существование устойчивого состояния необходимо, чтобы . Также это означает, что в модели Рамсея — Касса — Купманса накопление капитала ниже, чем уровень максимизирующий потребление (модифицированное Золотое правило: , где — капиталовооружённость на единицу эффективного труда, соответствующая Золотому правилу), а значит, невозможна динамическая неэффективность в виде избыточного накопления капитала.

Достижение равновесия в модели можно проиллюстрировать при помощи фазовой плоскости. Линии и делят диаграмму на четыре квадранта. Слева от линии траектория капиталовооружённости идет вверх, а справа от линии — вниз. Выше линии траектория капиталовооружённости идет влево, а ниже линии — вправо. Таким образом, в квадранте I траектория идет влево и вверх, в квадранте II — влево и вниз, в квадранте III — вправо и вниз, в квадранте IV — вправо и вверх. В итоге, в модели существует только одна траектория, ведущая к равновесию — зеленая линия на иллюстрации. На этой линии расположено множество точек и , из которых система приходит в устойчивое состояние. Варианты траектории из других точек показаны красным, в этом случае в конечном итоге становится равной нулю либо капиталовооружённость (), либо потребление (). Поскольку оптимальная траектория капиталовооружённости в модели имеет вид седла, её также называют «седловой путь».

Динамика нормы сбережений по мере приближения к равновесному состоянию также показана на иллюстрации.

В рассматриваемой модели равновесия для централизованной и децентрализованной экономики одинаковы.

Конвергенция Модель предполагает наличие условной конвергенции, то есть, что страны с малым уровнем капиталовооружённости будут расти более высокими темпами, чем страны с большим уровнем капиталовооружённости , при условии, что устойчивое состояние у них одинаково. Скорость приближения к устойчивому состоянию можно оценить при помощи линейной аппроксимации посредством разложения в ряд Тейлора дифференциальных уравнений для и :

Из условий устойчивости следует, что угловой коэффициент у второго слагаемого () во втором уравнении равен -1, а в первом — 0. Используя уравнения устойчивого состояния, можно записать линейные аппроксимации в следующем виде:

Решение этой системы уравнений имеет вид:

где — коэффициент, характеризующий скорость конвергенции.

Расчеты скорости конвергенции по модели Рамсея — Касса — Купманса с использованием параметров, близких к параметрам экономики США, предсказывают высокую скорость конвергенции, не наблюдаемую на реальных данных.

Фискальная политика в модели