Точный функтор — функтор, который переводит точные последовательности в точные. Точные функторы удобны для вычислений в гомологической алгебре, поскольку их можно сразу применять к резольвентам объектов. Бо́льшая часть гомологической алгебры была построена для того, чтобы сделать возможной работу с функторами, которые не являются точными, но их отличие от точных поддаётся контролю.
Определение Пусть и — абелевы категории и — аддитивный функтор. Рассмотрим произвольную короткую точную последовательность:
объектов .
Если — ковариантный функтор, является: полуточным, если точна; точным слева, если точна; точным справа, если точна; точным, если точна. Если — контравариантный функтор из в , является: полуточным, если точна; точным слева, если точна; точным справа, если точна; точным, если точна.
Не обязательно брать в качестве исходной последовательность именно такого вида; например, точный функтор можно определить как функтор, переводящий точные последовательности вида в точные последовательности.
Существует ещё одно определение точного функтора: ковариантный функтор точен слева тогда и только тогда, когда он переводит конечные пределы в пределы. При замене слова «ковариантный» на «контравариантный» или «слева» на «справа» нужно одновременно заменить «пределы» на «копределы». Точный функтор — это функтор, точный слева и справа.
Примеры Любая эквивалентность абелевых категорий точна. Наиболее важный пример точного слева функтора — функтор Hom. Если — произвольная абелева категория и — её объект, то — ковариантный аддитивный функтор в категорию абелевых групп. Этот функтор является точным тогда и только тогда, когда проективен. Соответственно, контравариантный функтор точен тогда и только тогда, когда инъективен. Если — правый -модуль, то возможно определить функтор из категории левых -модулей в с помощью тензорного произведения над . Этот функтор является точным справа; он точен тогда и только тогда, когда — плоский модуль. Предыдущие два примера можно обобщить: в любой паре сопряженных аддитивных функторов левый сопряженный точен справа, а правый сопряженный точен слева.
Примечания
Литература Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Факториал Пресс, 2003 — ISBN 5-88688-067-4.
Artin, Michael; Alexandre Grothendieck, Jean-Louis Verdier, eds. (1972). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie — 1963-64 — Théorie des topos et cohomologie étale des schémas — (SGA 4) — vol. 1. Lecture notes in mathematics (in French) 269. Berlin; New York: Springer-Verlag. xix+525. doi:10.1007/BFb0081551. ISBN 978-3-540-05896-0.
Категория:Теория категорий Категория:Гомологическая алгебра