В теории категорий нулевой морфизм — это морфизм, обобщающий свойства линейных отображений в ноль.
Определение Пусть — категория, и — морфизм в .
называется постоянным морфизмом, если для любого объекта в и любых
Соответственно, называется копостоянным морфизмом, если для любого объекта и любых
Нулевой морфизм — это морфизм, являющийся одновременно постоянным и копостоянным.
Категория с нулевыми морфизмами — это категория, в которой для любых двух объектов и зафиксирован морфизм , такой что для любых объектов и любых морфизмов следующая диаграмма коммутативна:
Тогда морфизмы обязательно являются нулевыми. Если — категория с нулевыми морфизмами, то определены однозначно.
Примеры В категории групп (или модулей) нулевой морфизм — это гомоморфизм , отображающий все элементы в нейтральный элемент . нулевой объект в категории групп — это тривиальная группа . Каждый нулевой морфизм проносится через , то есть .
Более общо, пусть — категория с нулевым объектом . Тогда для любых двух объектов и существует единственная последовательность морфизмов
Семейство таких морфизмов снабжает C структурой категории с нулевыми морфизмами.
Если — предаддитивная категория, то каждое множество морфизмов является абелевой группой и имеет нулевой элемент. Эти нулевые элементы образуют семейство нулевых морфизмов, делая категорией с нулевыми морфизмами.
Категория множеств не имеет нулевого объекта, но имеет начальный объект, пустое множество . Единственные копостоянные функции в — это функции вида .
Литература Параграф 1.7 .
Категория:Теория категорий Категория:Ноль