Двойственность в теории категорий — соотношение между свойствами категории и так называемыми двойственными свойствами двойственной категории . Взяв утверждение, касающееся категории и поменяв местами образ и прообраз каждого морфизма, так же как и порядок применения морфизмов, получим двойственное утверждение, касающееся категории . Принцип двойственности состоит в том, что истинные утверждения после такой операции переходят в истинные, а ложные в ложные.
Формальное определение Язык теории категорий определяется как язык первого порядка с двумя видами символов — объектами и морфизмами, со свойством объекта быть образом или прообразом морфизма, а также с символом для композиции морфизмов.
Пусть — любое слово языка. Двойственное ему слово образуется следующими правилами: поменять местами все «образы» на «прообразы» в , обратить порядок композиции морфизмов, то есть все вхождения заменить на . Иными словами, необходимо обратить все стрелки и переставить аргументы всех композиций.
Двойственность — это наблюдение, что выполняется в некоторой категории тогда и только тогда, когда выполнено в .
Примеры Морфизм — мономорфизм, когда из следует . Применив операцию двойственности, получаем утверждение о том, что из следует . Для морфизма , это значит в точности то, что — эпиморфизм. Таким образом, свойство «быть мономорфизмом» двойственно свойству «быть эпиморфизмом». Предел и копредел — двойственные понятия. Начальный объект и терминальный объект — двойственные понятия.
Литература
Категория:Теория категорий Категория:Теории двойственности