Категория запятой — специальная теоретико-категорная конструкция, позволяющая изучать морфизмы не как соотнесения объектов категории друг с другом, а как самостоятельные объекты. Строится как особая категория для произвольной пары функторов в общую категорию, описана Ловером как обобщение категорий объектов и морфизмов. Название «категория запятой» появилось из-за первоначального обозначения Ловера; впоследствии стандартное обозначение изменилось из соображений удобства, но название для конструкции сохранилось.
Общее определение Категорию запятой (обозначение Ловера — ) для функторов и можно построить следующим образом: объекты — все тройки вида , где — объект , — объект , и — морфизм в , морфизмы из в — все пары , где , — морфизмы в и соответственно, такие что следующая диаграмма коммутирует:
Композиция морфизмов берётся как , если последнее выражение определено. Тождественный морфизм объекта — это .
Категории объектов и морфизмов Категория объектов над заданным объектом — категория запятой , где — тождественный функтор, а — функтор из категории с одним объектом и одним морфизмом, заданный как . В этом случае используют обозначение . Объекты вида — это просто пары , где . Иногда в этой ситуации обозначают как . Морфизм из в — это морфизм , замыкающий следующую диаграмму до коммутативной:
Двойственный случай — категория объектов под — . В этом случае используют обозначение . Объекты — пары , где . Морфизм между и — отображение , замыкающее следующую диаграмму до коммутативной:
Ещё один частный случай — категория морфизмов — категория запятой , её объекты — морфизмы , а морфизмы — коммутативные квадраты в .
Примеры Категория множеств с отмеченной точкой — это категория запятой , где — функтор, выбирающий некоторый синглетон и — тождественный функтор для категории множеств. Сходным образом можно образовать категорию топологических пространств с отмеченной точкой .
Категория графов — это категория запятой , где — функтор, отправляющий в . Объекты вида состоят из двух множеств и функции; — индексирующее множество для рёбер, — множество вершин, тогда выбирает пару элементов для каждого , то есть выбирает определённое ребро из множества возможных рёбер . Морфизмы в этой категории — функции на индексирующем множестве и множестве вершин, такие что образы вершин, соответствовавших данному ребру, будут соответствовать его образу.
Забывающие функторы Для любой категории запятой определены два забывающих функтора из неё — функтор прообраза , который отображает: объекты: , морфизмы: , и функтор образа , который отображает: объекты: , морфизмы: .
Сопряжения Функторы и сопряжены тогда и только тогда, когда категории запятой и изоморфны, причём эквивалентные элементы проектируются на один и тот же элемент . Это позволяет описать сопряжённые функторы, не используя множества, и это было главной причиной появления конструкции категорий запятой.
Естественные преобразования Если образы функторов и совпадают, то диаграмма, определяющая морфизм в с совпадает с диаграммой, определяющей естественное преобразование . Различие между двумя определениями состоит в том, что естественное преобразование — это определённый класс морфизмов вида , тогда как объекты категории запятой — это все морфизмы такого вида. Функтор в категорию запятой может выбрать конкретное семейство морфизмов. И действительно, естественному преобразованию , где соответствует функтор который отображает объект в и морфизмы в . Это задаёт биекцию между естественными преобразованиями и функторами , которые являются левыми обратными обоих забывающих функторов из .
Примечания
Литература
Категория:Теория категорий