Моноидальная категория (или тензорная категория) — категория , снабженная бифунктором ,
который ассоциативен с точностью до естественного изоморфизма, а также объектом , который является единицей для также с точностью до естественного изоморфизма. Также на естественные изоморфизмы накладываются некоторые дополнительные условия. В моноидальной категории можно дать определение моноида, обобщающее свойства моноида из общей алгебры. На самом деле, обычные моноиды — это моноиды в категории множеств с прямым произведением в качестве моноидального произведения.
Обычное тензорное произведение делает векторные пространства, абелевы группы и модули моноидальными категориями, произвольные моноидальные категории можно рассматривать как обобщение этих примеров.
Определение Формально, моноидальная категория — это категория , снабжённая: бифунктором , называемым как тензорное произведение или моноидальное произведение, объектом , называемым единицей или тождественным объектом, тремя естественными изоморфизмами, выражающими тот факт, что операция тензорного произведения ассоциативна: существует естественный изоморфизм (так называемый ассоциатор) , , является единицей: существуют два естественных изоморфизма и , и .
На эти естественные изоморфизмы наложены дополнительные условия: для всех , , , в следующая пятиугольная диаграмма коммутативна:
для всех и треугольная диаграмма коммутативна:
Из этих условий следует, что любая диаграмма этого типа (то есть диаграмма, стрелки которой составлены из , , , единицы и тензорного произведения) коммутативна: это составляет предмет теоремы о когерентности Маклейна. Например, несколькими применениями ассоциатора легко показать, что и изоморфны. Ассоциаторы можно применять в разном порядке (например, на диаграмме приведено два способа для =4), но из теоремы о когерентности следует, что разные последовательности применений задают одно и то же отображение.
Строго моноидальная категория — это категория, для которой естественные изоморфизмы , , — тождественные.
Примеры Любая категория с конечными произведениями моноидальна, с категорным произведением в качестве моноидального произведения и терминальным объектом в качестве единицы. Такую категорию иногда называют декартово моноидальной категорией. Например: — категория множеств с декартовым произведением и одноэлементным множеством в качестве единицы. Любая категория с конечными копроизведениями также является моноидальной с копроизведением и начальным объектом в качестве единицы. , категория модулей над коммутативным кольцом — моноидальна с тензорным произведением и кольцом (понимаемым как модуль над самим собой) в качестве единицы. Категория эндофункторов (функторов в себя) в категории — строгая моноидальная категория с композицией функторов в качестве операции произведения.
См. также Моноидальный функтор Обогащённая категория
Примечания Kelly, G. Max (1964). «On MacLane’s Conditions for Coherence of Natural Associativities, Commutativities, etc.» — Journal of Algebra 1, 397—402
Mac Lane, Saunders (1963). «Natural Associativity and Commutativity». — Rice University Studies 49, 28-46.
Категория:Теория категорий