Категория абелевых групп — категория, объекты которой — абелевы группы, а морфизмы — гомоморфизмы групп. Стандартное обозначение — . Является прототипом абелевой категории; в действительности, любая малая абелева категория может быть вложена в .
Является полной подкатегорией категории всех групп . Главное различие между и состоит в том, что сумма двух гомоморфизмов абелевых групп — снова гомоморфизм:
— третье равенство требует коммутативности сложения. Сложение морфизмов делает предаддитивной категорией, и поскольку конечная прямая сумма абелевых групп является бипроизведением, следует, что — аддитивная категория.
В категории абелевых групп понятие ядра в категорном смысле совпадает с понятием ядра в алгебраическом смысле, то же самое верно для коядра. (Ключевое различие между и здесь состоит в том, что в категории групп может не быть нормальной подгруппой, поэтому факторгруппа не всегда может быть определена.)
Объект является инъективным тогда и только тогда, когда группа делимая; он проективен тогда и только тогда, когда группа свободная.
Для двух абелевых групп и можно определить их тензорное произведение ; оно вновь является абелевой группой, что делает моноидальной категорией.
Категория абелевых групп не является декартово замкнутой, потому что в ней не всегда определены экспоненциалы.
Примечания
Литература
Категория:Теория категорий