Лемма Йонеды (Ёнэды) — результат о функторе Hom; теоретико-категорное обобщение классической теорико-групповой теоремы Кэли (если рассматривать группу как категорию из одного объекта). Лемма позволяет рассмотреть вложение произвольной категории в категорию функторов из неё в категорию множеств. Является важным инструментом, позволившим получить множество результатов в алгебраической геометрии и теории представлений.
Названа Саундерсом Маклейном в честь Нобуо Ёнэды, сообщившего ему этот результат в частной беседе в 1954 или 1955 году.
Общий случай В произвольной (локально малой) категории для данного объекта можно рассмотреть ковариантный функтор Hom, обозначаемый: . Лемма Йонеды утверждает, что для любого объекта категории , естественные преобразования из в произвольный функтор из категории в категорию множеств находятся во взаимно-однозначном соответствии с элементами : .
Для данного естественного преобразования из в соответствующий элемент — это , то есть естественное преобразование однозначно определяется образом тождественного морфизма.
Контравариантная версия леммы рассматривает контравариантный функтор: , отправляющий во множество . Для произвольного контравариантного функтора из в .
Используется мнемоническое правило «падать во что-то» при рассмотрении морфизмов в зафиксированный объект.
Доказательство леммы Йонеды представлено на следующей коммутативной диаграмме:
Диаграмма показывает, что естественное преобразование полностью определяется , так как для любого морфизма : . Более того, эта формула задаёт естественное преобразование для любого (так как диаграмма коммутативна). Доказательство контравариантного случая аналогично.
Вложение Йонеды Частный случай леммы Йонеды — когда функтор также является функтором Hom. В этом случае ковариантная версия леммы Йонеды утверждает, что: . Отображение каждого объекта категории в соответствующий Hom-функтор и каждый морфизм в соответствующее естественное преобразование задаёт контравариантный функтор из в , либо ковариантный функтор: . В этой ситуации лемма Йонеды утверждает, что — вполне унивалентный функтор, то есть задаёт вложение в категорию функторов в .
В контравариантном случае по лемме Йонеды: . Следовательно задаёт вполне унивалентный ковариантный функтор (вложение Йонеды): .
Литература
Категория:Теория категорий Йонеды Й