Примарный идеал — собственный идеал коммутативного кольца , для любого элемента вида которого либо , либо для некоторого также является элементом . Например, в кольце целых чисел идеал примарен тогда и только тогда, когда он имеет вид , где — простое число.
Примарные идеалы имеют важное значение в коммутативной алгебре, поскольку любой идеал нётерова кольца имеет примарное разложение, то есть может быть записан как пересечение конечного числа примарных идеалов — этот результат известен как теорема Ласкера — Нётер.
Любой простой идеал является примарным. Идеал примарен тогда и только тогда, когда в факторкольце по нему любой делитель нуля является нильпотентным.
Если — примарный идеал, то его радикал является простым. В этом случае называется -примарным. Если — максимальный простой идеал, то любая степень — примарный идеал. Однако не все -примарные идеалы являются степенями , например, идеал является -примарным для в кольце , но не является степенью .
Для простого идеала нётерова кольца ядро — отображения из в его локализацию по идеалу — является пересечением всех -примарных идеалов.
Примечания
Литература
Категория:Коммутативная алгебра