Теорема о бабочке — классическая теорема планиметрии.
История Опубликована в 1803 году Уильямом Уоллесом в английском журнале . Позднее еще не раз переоткрывалась.
Формулировка
Пусть через точку М, являющуюся серединой хорды PQ некоторой окружности, проведены две произвольные хорды АВ и CD той же окружности. Пусть хорды AD и ВС пересекают хорду PQ в точках X и Y. Тогда М является серединой отрезка XY.
Замечания Верна и обратная теорема о бабочке: Пусть через точку М внутри некоторой окружности проведены две произвольные хорды АВ и CD. Пусть хорды AD и ВС пересекают произвольную хорду PQ в точках X и Y. Тогда если М является серединой отрезка XY, то она одновременно является серединой хорды PQ.
О доказательствах
Теорема о бабочке имеет большое число различных доказательств, как в рамках элементарной геометрии, так и использующих методы, выходящие за её пределы. В частности, в проективной модели плоскости Лобачевского, треугольник центрально симметричен и отсюда легко следует теорема.
При помощи проецирования двойных отношений: Рассмотрим двойное отношение точек , и спроецируем его на окружность из точки . Точки и перейдут сами в себя, так как принадлежат окружности, а точки и перейдут в точки и соответственно. Получаем (последнее следует трактовать как двойное отношение точек на комплексной плоскости). Проецируем обратно на прямую с центром в точке , получаем . Распишем двойное отношение по определению, получим необходимое равенство. Используется также метод инверсии
Вариации и обобщения
Обобщение ШарыгинаПротасов В. Ю., Тихомиров В. М. Геометрические шедевры И. Ф. Шарыгина. В книге «Геометрические олимпиады имени И. Ф. Шарыгина», стр. 146.: Пусть на окружности дана хорда AB, на ней — точки M и N, причём AM = BN. Через точки M и N проведены хорды PQ и RS, соответственно. Прямые QS и RP пересекают хорду AB в точках K и L, тогда AK = BL.
Ссылки
Примечания
Категория:Планиметрия Категория:Теоремы планиметрии