Групповое кольцо — это кольцо, являющееся в то же время свободным модулем, которое можно построить по данному кольцу и данной группе. Неформально говоря, групповое кольцо — это свободный модуль над кольцом базис которого находится в биективном соответствии с элементами группы умножение базисных элементов определяется как умножение элементов группы, а на остальные элементы умножение «распространяется по линейности».
Аппарат групповых колец особенно полезен в теории представлений групп.
Определение
Пусть — кольцо, а — группа. Тогда групповым кольцом называется множество конечных формальных сумм вида , которые складываются и умножаются следующим образом:
Если , то
.
Свойства
Если и коммутативны, то коммутативно. Если — кольцо с единицей, то — кольцо с единицей. Вложение в образует базис группового кольца. Если — подгруппа , то — подкольцо кольца . Пусть является полем, тогда каждому элементу можно сопоставить линейное преобразование векторного пространства — умножение на соответствующий базисный вектор слева. Это сопоставление задаёт регулярное представление группы.
Литература
Категория:C*-алгебры Категория:Алгебры фон Неймана Категория:Гармонический анализ Категория:Группы Ли Категория:Теория групп Категория:Теория колец Категория:Теория представлений Категория:Теория представлений групп