Антиэрмитова матрица (также эрмитово антисимметричная матрица, косоэрмитова матрица) — квадратная матрица , эрмитово сопряжение которой меняет знак исходной матрицы:
,
или поэлементно:
,
где через обозначено комплексное сопряжение числа .
Свойства Матрица эрмитова тогда и только тогда, когда матрица антиэрмитова. Отсюда следует, что если — антиэрмитова, то матрицы эрмитовы. Также любая антиэрмитова матрица может быть представлена в виде , где — эрмитова. Таким образом, свойства антиэрмитовых матриц могут быть выражены при помощи свойств эрмитовых и наоборот.
Матрица антиэрмитова тогда и только тогда, когда для любых векторов и (форма — антиэрмитова).
Антиэрмитовы матрицы замкнуты относительно сложения, умножения на вещественное число, возведения в нечётную степень, обращения (невырожденных матриц).
Антиэрмитовы матрицы являются нормальными.
Чётная степень антиэрмитовой матрицы является эрмитовой матрицей. В частности, если — антиэрмитова, то — эрмитова.
Собственные числа антиэрмитовой матрицы либо нулевые, либо чисто мнимые.
Любую квадратную матрицу можно представить как сумму эрмитовой и антиэрмитовой , где: — эрмитова, — антиэрмитова.
Матрица антиэрмитова тогда и только тогда, когда её экспонента унитарна.
Антиэрмитовы матрицы образуют алгебру Ли группы Ли .
Для любого комплексного числа такого, что , существует взаимно однозначное соответствие между унитарными матрицами , не имеющих собственных чисел равных , и антиэрмитовыми матрицами , задаваемое формулами Кэли: , , где — единичная матрица.
В частности, при : , .
Примечания
Ссылки Brookes, M., «The Matrix Reference Manual», Imperial College, London, UK
Категория:Типы матриц