-функция Ламберта определяется как обратная функция к , для комплексных . Обозначается или . Для любого комплексного она определяется функциональным уравнением:
-функция Ламберта не может быть выражена в элементарных функциях. Она применяется в комбинаторике, например, при подсчёте числа деревьев, а также при решении уравнений.
История Функция изучалась ещё в работе Леонарда Эйлера 1779-го года, но не имела самостоятельного значения и названия вплоть до 1980-х годов. Как самостоятельная функция была введена в системе компьютерной алгебры Maple, где для неё использовалось имя LambertW. Имя Иоганна Генриха Ламберта было выбрано, поскольку Эйлер ссылался в своей работе на труды Ламберта, и поскольку «называть ещё одну функцию именем Эйлера было бы бесполезно».
Многозначность
Поскольку функция не является инъективной на интервале , является многозначной функцией на . Если ограничиться вещественными и потребовать , будет определена однозначная функция — основная ветвь функции . Если ограничиться вещественными , и потребовать , будет определена однозначная функция — дополнительная ветвь функции .
Асимптотики Полезно знать асимптотики функции при стремлении к некоторым ключевым точкам. Например, для ускорения сходимости при выполнении рекуррентных расчётов.
Другие формулы
Свойства С помощью дифференцирования неявной функции можно получить, что при функция Ламберта удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:
С помощью теоремы об обращении рядов можно получить выражение для ряда Тейлора; он в окрестности нуля сходится при :
С помощью интегрирования по частям можно найти интеграл от W(z):
Значения в некоторых точках
, при
(постоянная Омега)
Формулы
Решение уравнений с помощью W-функции Решения многих трансцендентных уравнений могут быть выражены в форме W-функции.
Пример 1:
, следовательно, , откуда .
Пример 2:
, следовательно, , откуда .
Пример 3:
, тогда , следовательно, , откуда .
Обобщённые применения W-функции Ламберта Стандартная W-функция Ламберта показывает точные решения трансцендентных уравнений формы:
где a0, c и r являются вещественными константами. Решением такого уравнения является . Ниже перечислены некоторые из обобщённых применений W-функции Ламберта:
Эта функция может быть использована в общей теории относительности и в квантовой механике (квантовой гравитации) в нижних измерениях. В журнале «Classical and Quantum Gravity» была представлена ранее неизвестная связь между этими двумя понятиями, где правая сторона уравнения превращается в квадратный многочлен по переменной x:
и где константы r1 и r2, являются корнями этого квадратичного многочлена. В данном случае решением этого уравнения является функция с аргументом x , а ri и ao являются параметрами этой функции. С этой точки зрения, несмотря на то, что данное обобщённое применение W-функции Ламберта напоминает гипергеометрическую функцию и функцию «Meijer G», оно принадлежит к другому типу функций. Когда r1 = r2, то обе стороны уравнения (2) могут быть упрощены к уравнению (1), и таким образом общее решение сводится к стандартной W-функции. Уравнение (2) показывает определяющие отношения в скалярном поле дилатонноя, из чего следует решение задачи измерения линейной гравитации парных тел в 1+1 измерениях (измерение пространства и измерение времени) в случае неравных масс, а также решение задачи двумерного стационарного уравнения Шрёдингера с потенциалом в виде дельта-функции Дирака для неодинаковых зарядов в одном измерении.
Эта функция может быть использована для решения частной задачи внутренних энергий квантовой механики, состоящей в определении относительного движения трёх тел, а именно трёхмерной молекулярный ион водорода. В этом случае правая сторона уравнения (1) (или (2)) теперь становится отношением двух беспредельных многочленов по переменной x:
где ri и si константы, а x является функцией между внутренней энергией и расстоянием внутри ядра R. Уравнение (3), а также его упрощённые формы, выраженные в уравнениях (1) и (2), относятся к типу дифференциальных уравнений с запозданием.
Применения W-функции Ламберта в основных проблемах физики не ограничиваются стандартным уравнением (1), как было недавно показано в областях атомной, молекулярной и оптической физики и критерий «Кейпер-Ли» для Гипотеза Римана.
Вычисление -функция может быть приблизительно вычислена с помощью рекуррентного соотношения:
Пример программы на языке Python: import math
def lambertW(x, prec=1e-12): w = 0 for i in range(100): wTimesExpW = w * math.exp(w) wPlusOneTimesExpW = (w + 1) * math.exp(w) w -= (wTimesExpW - x) / (wPlusOneTimesExpW - (w + 2) * (wTimesExpW - x) / (2 * w + 2)) if prec > abs((x - wTimesExpW) / wPlusOneTimesExpW): break if prec <= abs((x - wTimesExpW) / wPlusOneTimesExpW): raise Exception("W(x) не сходится достаточно быстро при x=%f" % x) return w Для приближённого вычисления можно использовать следующую формулуDouble precision function LAMBERTW(X) в пакете QCDINS .
Приведённая функция похожа, но более чем на 10 % отличается от функции Ламберта.
Примечания
Категория:Специальные функции Категория:Статьи с примерами кода Python