Полифо́рма — плоская или пространственная геометрическая фигура, образованная путём соединения одинаковых ячеек — многоугольников или многогранников. Обычно ячейка представляет собой выпуклый многоугольник, способный замостить плоскость — например, квадрат или правильный треугольник. Некоторые виды полиформ имеют свои названия; например, полиформа, состоящая из равносторонних треугольников — полиамонд.

Первыми полиформами, использованными в занимательной математике, стали полимино — связные фигуры, состоящие из клеток бесконечной шахматной доски. Название «полимино» было придумано Соломоном Голомбом в 1953 году и популяризировано Мартином Гарднером.

Полиформа, состоящая из n ячеек, может обозначаться как n-форма. Для указания числа ячеек в фигуре используются стандартные греческие и латинские приставки моно-, до-, три-, тетра-, пента-, гекса- и т. д.

Правила соединения Правила соединения ячеек могут быть различными и должны быть указаны в конкретном случае. Обычно принимаются следующие правила: Ячейки полиформы не должны перекрываться. Две соседние многоугольные (многогранные) ячейки должны иметь общее ребро (для трёхмерных полиформ - общую грань). Если допустить, что соседние ячейки могут иметь лишь общий угол (на плоскости) или общие ребро или вершину (в пространстве), то полиформа называется псевдополиформой (). Полиформа, состоящая из произвольных не обязательно связанных между собой ячеек на плоскости или в пространстве, называется квазиполиформой ().

Симметрии

В зависимости от того, разрешены ли вращения и зеркальные отражения, различаются следующие типы полиформ: свободная () или двусторонняя () полиформа — фигура, которую разрешено вращать и зеркально отображать; односторонняя () полиформа — плоская фигура, которую разрешено только вращать в плоскости, но нельзя переворачивать; фиксированная () полиформа — фигура, которую не разрешено ни зеркально отображать, ни вращать.

Виды и применение полиформ Полиформы могут использоваться в играх, головоломках, моделях. Одной из основных комбинаторных проблем, связанной с полиформами, является перечисление полиформ заданного вида. Другой задачей является укладка фигур из заданного набора (часто это всевозможные полиформы определённого вида, например, 12 пентамино) в заданную область (в случае пентамино это может быть прямоугольник 6×10).

Среди популярных головоломок и игр, основанных на полиформах — пентамино, кубики сома, тетрис, некоторые варианты судоку.

{|class="wikitable" style="text-align:center" |- !colspan="2"|Форма ячейки (моноформа) !Связность фигуры !Полиформа |- |rowspan="2"| |rowspan="2"|квадрат |сторона |полимино () |- |сторона, угол |псевдополиминополиплет ()

|правильный треугольник |сторона |полиамонд ()

|правильный шестиугольник |сторона |полигекс ()

|куб |грань |поликуб ()

|треугольник 45-45-90 |сторона |полиаболо ()

|треугольник 30-60-90 |сторона | ()

|квадрат(в трёхмерном пространстве) |ребро (90°, 180°) |полиминоид ()

|ромбододекаэдр |грань |полирон ()

|отрезок |конец (90°, 180°) | ()

Полиформы на гиперболических паркетах На евклидовой плоскости существует лишь три правильных паркета — квадратный паркет, треугольный паркет и шестиугольный паркет. На этих трёх паркетах размещаются три наиболее «популярных» типа полиформ — полимино, полиамонды и полигексы соответственно.

На гиперболической плоскости существует бесконечное множество правильных паркетов, каждому из которых соответствует по меньшей мере один тип полиформ. На паркетах, в каждой вершине которых сходятся три многоугольника, существует один тип полиформ — объединения многоугольников, соединённых сторонами. На паркетах с четырьмя и более многоугольниками, сходящимися в вершине, можно рассматривать также аналоги псевдополимино — фигуры, образующиеся при соединении вершин многоугольников.

Сведения о количестве «гиперболических» полиформ и составлении из них фигур немногочисленны. Так, на квадратном паркете порядка 5 существует 1 мономино, 1 домино, 2 тримино (они совпадают с «евклидовыми» мономино, домино и тримино), 5 тетрамино. На правильном семиугольном паркете порядка 3 существует 10 тетрагептов — фигур, состоящих из четырёх связанных семиугольников, причём 7 из этих 10 тетрагептов можно уложить на евклидовой плоскости без перекрытия семиугольников.

Примечания

Литература

Ссылки

Andrew Clarke The Poly Pages David Eppstein The Geometry Junkyard Peter F. Esser Peter's Puzzle and Polyform Pages Jaap Scherphuis PolyForm Puzzle Solver George Sicherman Polyform Curiosities Miroslav Vicher Miroslav Vicher's Puzzles Pages Aad van de Wetering Letters en cijfers Livio Zucca PolyMultiForms Kadon Enterprises, Inc. Polyform Puzzles Alexandre Owen Muñiz Math at First Sight

*