В планиметрии изотоми́ческим сопряже́нием называется одно из преобразований плоскости, порождаемое заданным на плоскости треугольником ABC.
Определение
Пусть дан треугольник , у которого — середина стороны , — середина и — середина стороны . Пусть также на плоскости выбрана произвольная точка , не лежащая на прямых, содержащих его стороны. Тогда рассмотрим прямые , и . Пусть они пересекают прямые, содержащие противолежащие стороны треугольника, соответственно в точках , и (если прямые окажутся параллельными, точкой пересечения считается бесконечно удалённая точка прямой). Согласно теореме Чевы, . Если теперь точки , и симметрично отразить относительно , и соответственно, получатся точки , и (бесконечно удалённая точка переходит сама в себя). Поскольку , и так же для остальных пар точек, получаем и, согласно той же теореме Чевы, прямые , и пересекаются в одной точке . Эта точка называется изотомически сопряжённой точке относительно треугольника .
Изотомическое сопряжение устанавливает взаимно-однозначное соответствие между точками плоскости с исключёнными прямыми , и . На этих прямых соответствие не является взаимно-однозначным, так любой точке прямой соответствует вершина (и наоборот, вершине — всякая точка ) и так далее.
Координаты Если барицентрические координаты точки суть , то барицентрические координаты изотомически сопряжённой ей точки суть .
Если трилинейные координаты точки суть , то трилинейные координаты изотомически сопряжённой ей точки суть .
Другое определение Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением. Оно также переводит прямые в описанные коники. При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые. При изотомическом сопряжении в бесконечно удалённую прямую перейдёт описанный эллипс Штейнера.
Свойства
Изотомическое сопряжение является инволюцией, то есть его квадрат тривиален.
Неподвижными точками (то есть переходящими сами в себя) изотомического сопряжения являются центроид (другие названия: барицентр или центр масс, то есть точка пересечения медиан) треугольника и точки, симметричные вершинам треугольника относительно середин противолежащих сторон. Точки Жергонна и Нагеля изотомически сопряжены. Точке Лемуана (точке пересечения симедиан) треугольника изотомически сопряжена его точка Брокара. Точке пересечения биссектрис (инцентру) изотомически сопряжена точка пересечения антибиссектрис, Прямые общего положения относительно треугольника при изотомическом сопряжении переходят в описанные вокруг него коники, и наоборот.
См. также Изогональное сопряжение Изоциркулярное преобразование
Ссылки А. Г. Мякишев "Элементы геометрии треугольника", М., МЦНМО, 2002 Е. А. Куланин, А. Г. Мякишев "О некоторых кониках, связанных с треугольником"
Категория:Планиметрия Категория:Преобразования пространства