Дважды стохастическая матрица — квадратная матрица с неотрицательными вещественными элементами, в которой все её строчные и столбцовые суммы равны 1, то есть:
.
Множество всех дважды стохастических матриц обозначается через .
Теорема Биркгофа: множество всех дважды стохастических матриц образует выпуклый многогранник, вершины которого — матрицы перестановки. Иначе говоря, если , то , где — матрицы перестановки, а — неотрицательные числа, .
Любая дважды стохастическая матрица порядка является выпуклой линейной комбинацией не более чем матриц перестановок.
Для и , таких, что при всех и ,
существует такая дважды стохастическая матрица , что .
Перманент дважды стохастической -матрицы не менее, чем — гипотеза ван дер Вардена, доказанная в 1980 году Г. П. Егорычевым и независимо Д. Фаликманом (работа представлена к публикации в 1979 году); за эти результаты оба учёных удостоены в 1982 году премии Фалкерсона.
Примечания
Литература
Категория:Типы матриц